向量组与矩阵的秩.ppt

第三章 向量组与矩阵的秩
§1 n维向量
§2 线性相关与线性无关
§3 线性相关性的判别定理
§4 向量组的秩与矩阵的秩
§5 矩阵的初等变换
§6 初等矩阵与求矩阵的逆
§7 向量空间
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向量:
既有大小又有方向的量.
向量表示:
零向量:
模长为0的向量.
| |
向量的模:
向量的大小.
从二维、三维向量谈起
或
或
单位向量:
模长为1的向量.
或
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定义1 n个数组成的有序数组(a1,a2,…,an)
称为一个n维向量,简称向量。
用小写的粗黑体字母来表示向量。
行向量
列向量
§1 n维向量
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数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量;分量是复数的向量称为复向量。
n维行向量可以看成1×n矩阵,n维列向量也常看成n×1矩阵。
设k和l为两个任意的常数, 为任意的n维向量,其中
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定义2 如果和对应的分量都相等,即
ai=bi,i=1,2,…,n
就称这两个向量相等,记为
定义3 向量
(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)
称为与的和,记为。称向量
(ka1,ka2,…,kan)
为与k的数量乘积,简称数乘,记为。
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定义4 分量全为零的向量
(0,0,…,0)
称为零向量,记为0。与-1的数乘
(-1) =(-a1,-a2,…,-an)
称为的负向量,记为。
向量的减法定义为
向量的加法与数乘具有下列性质:
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满足(1)—(8)的运算称为线性运算。
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例1 设3(1-)+2(2+)=5(3+),其中1=(2,5,1,3), 2=(10,1,5,10), 3=(4,1,-1,1).求.
解: 31-3+22+2=53+5
6= 31 +22 -53
= 1/21 +1/32 –5/63
=(1+10/3-20/6,5/2+1/3-5/6,1/2+5/3+5/6,3/2+10/3-5/6)
=(1,2,3,4)
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矩阵与向量的关系:
n维列向量组可以排成一个n×s矩阵
其中为由B的第j行形成的子块,
称为B的列向量组。
§2 线性相关与线性无关
通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,
n维行向量组可以排列成一个s×n分块矩阵
其中为由A的第i行形成的子块,
称为A的行向量组。
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定义5 向量组称为线性相关的,如果有不全为零的数k1,k2,…,ks,使
反之,如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立,就称线性无关。
当是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的1×s矩阵(k1,k2,…,ks)使
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