平面向量练习题答案解析.doc

平面向量知识点归纳
向量的基本概念与基本运算
1向量的概念:
①向量:既有大小又有方向的量向量的大小即向量的模(长度)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行,所以在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.
③单位向量:模为1个单位长度的向量
④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的向量,称为平行向量由于向量可以进行任意的平移,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合
2向量加法:
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设,则+==
(1);
(2)向量加法满足交换律与结合律;
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:
(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量
(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,:
,但这时必须“首尾相连”.
3向量的减法:
①相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量
记作关于相反向量有:
(i)=; (ii) +()=()+=;
(iii)若、是互为相反向量,则=,=,+=
②向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,记作:
③作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)
4实数与向量的积:
实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ);
(Ⅱ)当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反;当时,,方向是任意的
5两个向量共线定理:
向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=
6平面向量的基本定理:
如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
7 特别注意:
(1)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件
(2)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况
平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底平面内的任一向量可表示成,记作=(x,y)
(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量
2平面向量的坐标运算:
若,则
若,则
若=(x,y),则=(x, y)
若,则
若,则
若,则
3 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质

运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的
加法
1平行四边形法则
2三角形法则
向量的
减法
三角形法则
向量的
乘法
是一个向量,
满足:
>0时,与同向;
<0时,与异向;
=0时, =
∥
向量的
数量积
是一个数
或时,
=0
且时,
,

1两个向量的数量积:
已知两个非零向量与,它们的夹角为,则·=︱︱·︱︱cos
叫做与的数量积(或内积) 规定
2向量的投影:︱︱cos=∈R,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影
3数量积的几何意义: ·等于的长度与在方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系:
5乘法公式成立:
;
6平面向量数量积的运算律:
①交换律成立:
②对实数的结合律成立:
③分配律成立:
特别注意:(1)结合律不成立:;
(2)消去律不成立不能得到
(3)=0不能得到=或=
7两个向量的数量积的坐标运算:
已知两个向量,则·=
8向量的夹角:已知两个非零向量与,作=, =,则∠AOB= ()叫做向量与的夹角
cos==
当且仅当两个非零向量与同方向时,θ=00,当且仅当与反方向时θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9垂直:如果与的夹角为900则称与垂直,记作⊥
10两个非零向量垂直的充要条件:
⊥·=O
典例精析
题型一向量的有关概念
【例1】下列命题:
①向量的长度与的长度相等;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③两个有共同起点的单位向量,其终点必相同;
④向量与向量是共线向量,则A、B、C、D必在同一直线上.