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二次函数图像及性质
一、二次函数的定义
一般地,形如(为常数,)的函数称为的二次函数,其中为自变量,为因变量,、、分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.
注意:和一元二次方程类似,二次项系数,而、.
二、二次函数的图象

(1)决定抛物线的开口方向
当时,抛物线开口向上;当时,.
决定抛物线的开口大小:越大,抛物线开口越小;越小,抛物线开口越大.
温馨提示:几条抛物线的解析式中,若相等,则其形状相同,即若相等,则开口及形状相同,若互为相反数,则形状相同、开口相反.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置(抛物线的对称轴:)
当时,抛物线的对称轴为轴;
当、同号时,对称轴在轴的左侧;
当、异号时,对称轴在轴的右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置(抛物线与轴的交点坐标为)
当时,抛物线与轴的交点为原点;
当时,交点在轴的正半轴;
当时,交点在轴的负半轴.

五点绘图法:
利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.

⑴一次函数(),该点为直线与轴交点.
⑵二次函数(),该点为抛物线与轴交点,当时,该点为抛物线顶点.
⑶点关于的对称点为.

⑴根据抛物线的开口方向判断的正负性.
⑵根据抛物线的对称轴判断的大小.
⑶根据抛物线与轴的交点,判断的大小.
⑷根据抛物线与轴有无交点,判断的正负性.
⑸根据抛物线所经过的已知坐标的点,可得到关于的等式.
⑹根据抛物线的顶点,判断的大小.
三、二次函数的图象及性质
1. 二次函数的性质:
⑴抛物线的顶点是坐标原点(0,0),对称轴是( 轴).
⑵函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点;
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
3. 二次函数或()的性质
⑴开口方向:
⑵对称轴:(或)
⑶顶点坐标:(或)
⑷最值:

时有最小值(或)(如图1); 时有最大值(或)(如图2);
⑸单调性(单调性的概念无需掌握):二次函数()的变化情况(增减性)
①如图1所示,当时,对称轴左侧,随着的增大而减小,在对称轴的右侧,
随的增大而增大;
②如图2所示,当时,对称轴左侧, y随着x的增大而增大,在对称轴的