第一章习题课(第二次).doc

将一质点以初速抛出,与水平线所成之角为。此质点所受到的空气阻力为其速度的倍,为质点的质量,为比例系数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为时所需的时间。
解: 阻力一直与速度方向相反,即阻力与速度方向时刻在变化,但都在轨道上没点切线所在的直线方向上,故用自然坐标比用直角坐标好.
轨道的切线方向上有:
①
轨道的法线方向上有:
②
由于角是在减小的,故
③
由于初末状态由速度与水平方向夹角来确定,故我们要想法使①②变成关于的等式
由①
即
④
把代入可得
⑤
用④⑤可得
即,两边积分得
⑥
代入初始条件时,即可得
代入⑥式,得
⑦
又因为
所以
⑧
把⑦代入⑧
积分后可得
如向互相垂直的匀强电磁场、中发射一电子,并设电子的初速度与及垂直。试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为,式中为电场强度,为电子所带的电荷,为任一瞬时电子运动的速度。
.
电子受力
则电子的运动微分方程为
②-③-④
由②,即
⑤
代入③整理可得
⑥
对于齐次方程的通解
非齐次方程的特解
所以非齐次方程的通解
代入初始条件:时,得
时,得,故
⑦
同理,把⑦代入⑤可以解出
把⑦代入⑤
代入初条件时,,
) 重为的不受摩擦而沿半长轴为、半短轴为的椭圆弧滑下,此椭圆的短轴是竖直的。如小球自长轴的端点开始运动时,其初速度为零,试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。
.
椭圆方程
①
从滑到最低点,
②
设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为则有: N-mg=mv2/ ③
为点的曲率半径.
的轨迹:
得
;
又因为
所以
故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为
方向垂直轨道向下.
一质量为的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为,式中为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为
解质点作平面直线运动,运动轨迹方程为
①-②
由曲线运动质点的受力分析,我们可以得到:③-④

因为曲线上每点的曲率⑤
所以⑥
⑦
把⑥⑦代入曲率公式⑤中
所以⑧
由④
即,数学可知,即所以⑨
把⑧⑨代入①
检验下列的力是否是保守力。如是,则求出其势能。
,,


解(a)保守力满足条件对题中所给的力的表达式,代入上式
即
所以此力是保守力,其势为
(b)同(a),
由
所