四点形四线形.ppt

完全四点形与完全四线形的调和性
一、调和性
定理11 完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离。
定理11' 完全四线形的一对对顶被在此二对顶连线上的对顶三线形的二顶点调和分离。
如图,经过三个对边点X,Y,Z各有一个调和直线组,比如X
如图,在三条对顶线x, y, z上各有一个调和点组,比如x
此二定理说明:上述两图中各有三个调和元素组
菊漏觅聘灵塘奏暮柜星凡垒吝蝎蒙戚休循凶轰川羞戎矗塘觅揪撇殿薯惺巍四点形四线形四点形四线形
证明定理11
只证
以直线AB截此四直线,得
现在证明(AB, PZ)= –1。为此再以直线CD截此四直线,得
以点Y分别与上述等式两边的四点相连,得
也就是
注意到A, B, P, Z四点互异,必有(AB, PZ)=–1。证毕。
完全四点形与完全四线形的调和性
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推论7 在完全四点形的对边三点形的每条边上,有一个调和点组,其中一对为对边点,另一对为该边与第三组对边的交点。
推论7' 通过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一个调和直线组,其中一对为对顶线,另一对为该顶点与第三对对顶的连线。
比如经过顶点T,有
此二推论说明:上述两图中又各有三个调和元素组
比如在边t上,有
完全四点形与完全四线形的调和性
钝险嘉嘘颧涵正螺眼翻肤柔筒巍柠涨蝉登晒簿治傈盔届欺捐毁蘸转蝎添贿四点形四线形四点形四线形
推论8' 在完全四点形的每条边上有一个调和点组,其中一对为顶点,另一对中一个为对边点,一个为该边与对边三点形的边的交点。
推论8' 通过完全四线形的每个顶点有一个调和直线组,其中一对为边,另一对中,一条为对顶线,一条为该顶点与对顶三线形顶点的连线。
比如经过顶点ab,有
此二推论说明:上述两图中又各有六个调和元素组
比如在边AB上,有
完全四点形与完全四线形的调和性
答玻姚自鹏垛棉柬饮留遣低竹烙龙钱哥延咏招申概练狭玄虹颗铲套病仕地四点形四线形四点形四线形
二、应用
1、第四调和元素的作图
例1 已知直线l上相异三点P1, P2, P3,求作第四调和点P4。
解. 作法:
(1). 在l外任取一点A,连AP1, AP2。
(2). 过P3作异于l的直线分别交AP1, AP2于B, D。
(3). 连P1D, P2B交于C。
(4). 连AC交l于P4为所求。
证明: 略。
完全四点形与完全四线形的调和性
唬面需照冰侯宙变钵退甜雾琐鸭郭冶绍辞违钮测淌捣作怕兆袜邮亨蝉哲僵四点形四线形四点形四线形
例. 由Desargues定理证明,对于直线l上给定的相异三点P1, P2, P3,第四调和共轭点P4惟一存在。
完全四点形与完全四线形的调和性
证明. 设P4, P '4是两个第四调和点,作两个四线形如图,下面证明这两个第四调和点重合。考虑三点形ACD和A'C'D',只需证明对应边的交点P1, P2, AC×A'C'共线,为此只需证明对应顶点的连线AA',CC',DD'共点。因为三点形ABD和A'B'D'的对应边的交点共线,所以对应顶点的连线AA',BB',DD'共点。同理,BB',CC',DD'也共点,所以AA',CC',DD'共点。
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