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高中立体几何知识点总结
一、空间几何体
(一) 空间几何体的类型
1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。
(二) 几种空间几何体的结构特征
1 、棱柱的结构特征
棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
图1-1 棱柱
棱柱的分类
棱柱底面是四边形
四棱柱底面是平行四边形
平行六面体侧棱垂直于底面
直平行六面体底面是矩形
长方体底面是正方形
正四棱柱棱长都相等
正方体
性质:
Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等;
Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行;
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;
棱柱的面积和体积公式
(是底周长,是高)
S直棱柱表面= c·h+ 2S底
V棱柱= S底·h
2 、棱锥的结构特征
棱锥的定义
(1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
(2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的结构特征
Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比;
Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形;
A
B
C
D
P
O
H
正棱锥侧面积:(为底周长,为斜高)
体积:(为底面积,为高)
正四面体:
对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长为的正方体问题。
对棱间的距离为(正方体的边长)
正四面体的高()
正四面体的体积为()
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为()
3 、棱台的结构特征
棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
正棱台的结构特征
(1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;
(2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形;
(3)正棱台的对角面也是等腰梯形;
(4)各侧棱的延长线交于一点。
4 、圆柱的结构特征
圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
圆柱的性质
(1)上、下底及平行于底面的截面都是等圆;
(2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
圆柱的面积和体积公式
S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高)
S圆柱全= 2π r h + 2π r2
V圆柱= S底h = πr2h
5、圆锥的结构特征
圆锥的定义:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
圆锥的结构特征
(1) 平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;
图1-5 圆锥
(2)轴截面是等腰三角形;
(3)母线的平方等于底面半径与高的平方和:
l2 = r2 + h2
圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形。
6、圆台的结构特征
圆台的定义:用一个平行于底面的平面去截圆锥,我们把截面和底面之间的部分称为圆台。
圆台的结构特征
⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆;
⑵圆台的截面是等腰梯形;
⑶圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究。
圆台的面积和体积公式
S圆台侧= π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)
S圆台全= π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l
V圆台= 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h为圆台的高)
7 球的结构特征
球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体称为球体。
7-2 球的结构特征
⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面;
⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方