高考数学资料——5年高考题、3年模拟题分类汇编专题(5)....doc

第三节空间向量在立体几何中的应用
填空题
,平面内一点满足,则_________
,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________。
【解析】设由可得故
【答案】(0,-1,0)
二、解答题
3.(本小题满分12分)
如图,在五面体ABCDEF中,FA 平面ABCD, AD//BC//FE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD
(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(II) 证明平面AMD平面CDE;
(III)求二面角A-CD-E的余弦值。
如图所示,建立空间直角坐标系,
点为坐标原点。设依题意得
(I)
所以异面直线与所成的角的大小为.
(II)证明: ,

(III)
又由题设,平面的一个法向量为

4.(本题满分15分)如图,平面平面,
是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,
,的中点,,.
(I)设是的中点,证明:平面;
(II)证明:在内存在一点,使平面,并求点到,的距离.
证明:(I)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系O,
则,由题意得,因,因此平面BOE的法向量为,得,又直线不在平面内,因此有平面
6.(本小题满分12分)
如图,已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点。
(I)若平面ABCD ⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦;
(II)用反证法证明:直线ME 与 BN 是两条异面直线。
设正方形ABCD,DCEF的边长为2,以D为坐标原点,分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.
则M(1,0,2),N(0,1,0),可得=(-1,1,2).
又=(0,0,2)为平面DCEF的法向量,
可得cos(,)=·
所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为
cos· ……6分
(Ⅱ)假设直线ME与BN共面, ……8分
则AB平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN
由已知,两正方形不共面,故AB平面DCEF。
又AB//CD,所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,
所以AB//EN。
又AB//CD//EF,
所以EN//EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立。
所以ME与BN不共面,它们是异面直线. ……12分
7.(13分)
如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,,
,且MD=NB=1,E为BC的中点
求异面直线NE与AM所成角的余弦值
在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由
:(1)在如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标
依题意,得。
,

(2)假设在线段上存在点,使得平面.
,
可设
又.
由平面,得即
故,此时.
经检验,当时,平面.
故线段上存在点,使得平面,此时.
8.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱中,、分别为、的中点,平面
(I)证明:
(II)设二面角为60°,求与平面所成的角的大小。
分析一:求与平面所成的线面角,只需求点到面的距离即可。
19.(本小题满分12分,(Ⅰ)问5分,(Ⅱ)问7分)
如题(19)图,在四棱锥中,且;平面平面,;为的中点,.求:
(Ⅰ)点到平面的距离;
(Ⅱ)二面角的大小.
(Ⅰ)如答(19)图2,以S(O)为坐标原点,射线OD,OC分别为x轴,y轴正向,建立空间坐标系,设,因平面
即点A在xoz平面上,因此
又
因AD//BC,故BC⊥平面CSD,即BCS与平面
yOx重合,从而点A到平面BCS的距离为.
(Ⅱ)易知C(0,2,0),D(,0,0). 因E为BS的中点.
ΔBCS为直角三角形,
知
设B(0,2, ),>0,则=2,故B(0,2,2),所以E(0,1,1) .
在CD上取点G,设G(),使GE⊥CD .
由故
①
又点G在直线CD上,即,由=(),则有②
联立①、②,解得G= ,
故=.又由AD⊥CD,所以二面角E-CD-A的平面角为向量与向量所成的角,记此角为.
因为=,,所以

故所求的二面角的大小为.
作于,连,则,为二面角的平面角,.不妨设,则
.在中,由,易得.
设点到面的距离为,与平面所成的角为。利用,可求得,又可求得
即与平面所成的角为
分析二:作出与平面所成的角再行求解。如图可证得,所以面。由分析一