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第5章大数定律与中心极限定理
切比雪夫不等式与大数定律
以前,我们常这样说:
“频率是概率的反映,随着试验次数的增多,频率将会逐渐稳定
于概率”;
“当试验次数n很大时,频率与概率非常“接近”、“靠近”;
“概率是频率的稳定值”; 等等。
同学们早就有疑问:“逐渐稳定”、非常“接近、靠近”、“稳定值”,这些究竟是什么意思?是不是数学分析中极限的那种“接近”?
学****本节,主要是(1)掌握一种估算事件发生的概率的方法;(2)要从理论上严格以前提到的关于“频率和概率的关系”的几种说法,从而明确“频率和概率的关系”到底是何种关系。
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:(切比雪夫(Chebyshev)不等式)
设随机变量的数学期望和方差都存在,
则对于任意的正数,有下列不等式成立:
或
分析:1. 首先切比雪夫不等式从概率的角度,描述了随机变量在
.
2. 切比雪夫不等式,给出了在未知随机变量的分布的情况
下, 求事件“|X-E(X)|< ”的概率的一种估计方法.
例如:取, 则
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证明: ( 仅就连续随机变量的情形)设连续随机变量的概率密度为
又由于“”与“”是对立事件,
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:利用切比雪夫不等式确定当掷一枚均匀硬币时,需掷多少
次才能保证使得正面出现的频率在 与 之间的概率不
小于 90 %。
解:设表示“在掷次试验中,出现正面的次数”,则出现正面
的频率为。
由切比雪夫不等式
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(切比雪夫(Chebyshev)大数定律)
设独立随机变量序列的数学期望与方差都存在,
且方差是一致有上界的, 即存在常数, 使得
则对于有
证前分析:

若记序列的算术平均值;
:
这说明: 当充分大时,算术平均值将紧密地聚集在其期望的附近.
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由方差的性质知:
另由切比雪夫不等式知:
但是概率只能小于等于1,
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切比雪夫大数定律证明了算术平均值的稳定性。

比如:我们要测量某个物理量。在相同的条件下,重复测量次,得到的测量结果可能是不完全相同的,这些结果可以看作个独立的随机变量(它们服从同一分布,并且具有数学期望)的试验数值。于是,按大数定理可知:当充分大时,我们
取次测量结果的算术平均值,作为的近似值
, 所发生的误差是很小的。
切比雪夫大数定律的一个重要推论就是著名的伯努利大数定律
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在重独立试验序列中,设事件发生的概率。
: (伯努利(Bernouli)大数定律)
则对于,当试验次数充分大,即时
伯努利大数定律的结论表明:在n重独立试验中,当试验次数
充分大时,事件发生的频率与其发生概率非常
接近,但这种接近是概率意义上的接近,称为“事件A发生的
频率依概率收敛于其发生的概率”。
依概率收敛的定义:
设随机变量序列为, 为一个常数。若对于
,有则称序列依概率收敛于常数,记为。
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证明:引入n重独立随机变量序列
设n次独立试验中,事件A出现的次数为,
显然, , ,
由切比雪夫大数定理知:
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伯努利大数定律,以严格的数学形式表达了频率的稳定性,就是说“当试验次数很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小”。因此,它在实际应用中为“当试验次数很大时,用事件发生的频率代替事件发生的概率。”提供了理论依据;也为通过试验来确定事件的概率提供了方法,即“当试验次数较大时,可以用试验得到的事件发生的频率作为相应概率的估计”。
同时,由于“事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小”,伯努利大数定律还隐含着另外一个重要的事实:如果事件A的概率很小,那么事件A的频率也一定很小。比如,我们设,则由伯努利大数