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第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计
线性相位FIR数字滤波器的条件和特点
1. 线性相位条件
对于长度为的,传输函数为
称为幅度特性,称为相位特性。
线性相位是指是的线性函数,即,为常数。
如果满足:,是起始相位。严格地说,此时不具有线性相位,但以上两种情况都满足群时延是一个常数,即
也称这种情况为线性相位。一般称满足()式是第一类线性相位;满足()式为第二类线性相位。满足第一类线性相位的条件是:是实序列且对偶对称,即
满足第二类线性相位的条件是:是实序列且对奇对称,即

第一类线性相位条件证明
令,则有
按照上式可以将H(z)表示为
所以,
第二类线性相位条件
同样,
因此,幅度函数和相位函数分别为

1) ,N=奇数
2), N为偶数
3),N=奇数
4),N=偶数
3. 线性相位FIR滤波器零点分布特点
4. 线性相位FIR滤波器网络结构
设N为偶数,则有
如果N为奇数
第一类线性滤波器
第二类线性滤波器
利用窗函数法设计FIR滤波器
设希望设计的滤波器传输函数为,是与其对应的单位脉冲响应。
为了构造一个长度为N的线性相位滤波器,只有将截取一段,并保证截取的一段对对称。设截取的一段用表示,即
其中,和分别是和的傅里叶变换,

如果
通过以上分析可知,对加矩形窗处理后,和原理想低通的差别有以下两点:
(1)在理想特性不连续点处附近形成过渡带。过渡带的宽度,近似等于的主瓣宽度,即
。
(2)通带内增加了波动,最大的峰值在处。阻带内产生了余振,最大的负峰在处。
在主瓣附近,可近似为
几种常用的窗函数:
矩形窗:
2、三角形窗
其频率响应为
3、汉宁(Hanning)窗——升余弦窗
当N很大时,
4、哈明(Hamming)窗——改进的升余弦窗
频域函数为
当N>>1时,可近似表示为:
5、布莱克曼(Blackman)窗
其频域函数为
其幅度函数为
6、凯塞—贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window)
用窗函数设计FIR滤波器的步骤:
(1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应;如果给出待求滤波器的频响为,那么单位取样响应用下式求出:
,
根据频率采样定理:
(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求,选择窗函数的形式,并估计窗口长度。
(3) 计算滤波器的单位取样响应,

(4)验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算
例用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器,设.
解用理想低通作为逼近滤波器,

用汉宁窗设计
用布莱克曼窗设计
利用频率采样法设计FIR滤波器:
必须利用计算机进行处理运算
1、IIR与FIR数字滤波器的比较
IIR滤波器存在着输出对输入的反馈,因此可以用比FIR滤波器少的阶数来满足技术指标,这样,IIR滤波器所用的存储单元和所需的运算次数都比FIR滤波器少。
例如用频率抽样法设计阻带衰减为-20dB的FIR滤波器,其阶数要33阶才能达到要求,而如果用双线性变换法设计一个切比雪夫IIR滤波器,只需4