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南通市立体几何训练--例题精选
1如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,
若、分别为、的中点.
(Ⅰ) //平面;(Ⅱ) 求证:平面平面;
(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)证明:连结,在中,的中位线,//,且平面,平面, ………7分
(Ⅱ)证明:∵面面,平面面,
∴平面,又,
∴面面(其它解法参照给分) ………14分
B
A
C
D
P
Q
O
2如图四边形是菱形,平面, 为的中点. 求证:
⑴∥平面;
⑵平面平面.
[解]:证:设,连。
⑴∵为菱形, ∴为中点,又为中点。
∴∥(5分)
又, ∴∥(7分)
⑵∵为菱形, ∴, (9分)
又∵, ∴(12分)
又∴又
∴(14分)
3、已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥平面ABCD.
(1)求证:PF⊥FD;
P
A
B
C
D
F
E
·
(2)设点G在PA上,且EG//平面PFD,试确定点G的位置.
P
A
B
C
D
F
E
·
H
G
解:(1)证明:连结AF,在矩形ABCD中,因为AD=4,AB=2,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°.
所以∠AFD=90°,即AF⊥FD. …………………3分
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD. …………… 4分
所以FD⊥平面PAF. ………………………… 5分
故PF⊥FD. ………………………………………6分
(2)过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,且
AH=AD. …………………………8分
再过H作HG//PD交PA于G,则GH//平面PFD,且 AG=PA. ………………………10分
所以平面EHG//平面PFD,则EG//平面PFD, …………………………………………12分
从而点G满足AG=PA. ……………………………………………………………… 13分
[说明:①用向量法求解的,参照上述评分标准给分;②第(2)小题也可以延长DF与AB交于R,然后找EG//PR进行处理.]
4、如图已知平面,且
是垂足.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若,试判断平面与平面的
位置关系,并证明你的结论.
解:(Ⅰ)因为,.
又,故平面. 5分
(Ⅱ)设与平面的交点为,连结、.因为平面,
所以,所以是二面角的平面角.
又,所以,即.
在平面四边形中,,
. 14分
5、
已知等腰梯形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PB=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面
PAD⊥面ABCD(如图2)。
(1)证明:平面PAD⊥PCD;
(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC
把几何体分成的两部分;
(3)在M满足(Ⅱ)的情况下,判断直线AM
是否平行面PCD.
解:(I)证明:依题意知:


(II)由(I)知平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD.
在PB上取一点M,作MN⊥AB,则MN⊥平面ABCD,
设MN=h
则

要使
即M为PB的中点.
(III)以A为原点,AD、AB、AP所在直线为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系
则A(0,0,0),B(0,2,0),
C(1,1,0),D(1,0,0),
P(0,0,1),M(0,1,)
由(I)知平面,则
的法向量。
又为等腰

因为
所以AM与平面PCD不平行.
6、A
B
C
M
P
D
如图,在四棱锥中,平面平面,,是等边三角形,已知,,.
(Ⅰ)设是上的一点,证明:平面平面;
(Ⅱ)当点位于线段PC什么位置时,平面?
(Ⅲ)求四棱锥的体积.
证明:(Ⅰ)在中,
∵,,,∴.
∴. 2分
又∵平面平面,
平面平面,平面,
∴平面.
又平面,
∴平面平面. 4分
(Ⅱ)当点位于线段PC靠近C点的三等分点处时,平面. 5分
证明如下:连接AC,交于点N,连接MN.
∵,所以四边形是梯形.
∵,∴.
又∵,
∴,∴MN. 7分
∵平面,∴平面. 9分
(Ⅲ)过作交于,
∵平面平面,
∴平面.
即为四棱锥的高. 11分
又∵是边长为4的等边三角形,∴. 12分
在中,斜边边上的高为,此即为梯形的高.
∴梯形的面积. 14分
故. 15分
7、如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面CDB1;