中考数学命题研究第三编综合专题闯关篇专题六二次函数中存在性问题习题.docx

专题六二次函数中存在性问题
二次函数中存在性问题是贵阳中考必考内容,近5年共考了4次,主要与几何图形结合起来考查,且都以解答题形式出现,分值12分.
预计2017年贵阳中考对二次函数存在性问题仍会考查,且涉及到的内容有:等腰三角形,直角三角形,相似三角形、面积最值、特殊四边形等存在性问题.
,中考重难点突破)
相似三角形存在性问题
【经典导例】
【例1】(2016贵阳模拟)如图,已知抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以AO为边的四边形AODE是平行四边形,求点D的坐标;
(3)P是抛物线上第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,是否存在点P,使得以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由于抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,用待定系数法即可求出抛物线的表达式; (2)根据平行四边形的性质,对边平行且相等,可以求出点D的坐标;(3)分两种情况讨论,①△AMP∽△BOC,②△PMA∽△BOC,根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标.

【学生解答】解:(1)y=x2 +2x;(2)当AO为平行四边形的边时,DE∥AO,DE=AO,由A(-2,0)知:DE=AO=2, 若D在对称轴直线x=-1左侧, 则D横坐标为-3,代入抛物线表达式得D1(-3,3), 若D在对称轴直线x=-1右侧, 则D横坐标为1,代入抛物线表达式得D2(1,3). 综上可得点D的坐标为(-3,3)或(1,3);(3):∵B(-3,3),C(-1,-1), 根据勾股定理得:BO2=18,CO2=2,BC2 =20, ∵BO2+CO2=BC2 , ∴△BOC是直角三角形, 假设存在点P,使以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似, 设P(x,y),由题意知x>0,y>0,且y=x2 +2x, ①若△AMP∽△BOC,则=, 即=, 故x+2=3(x2+2x),得:x1=,x2=-2(舍去). 当x=时,y=,即P(,);②若△PMA∽△BOC,则=, 即=,故x2 +2x=3(x+2), 得:x1=3,x2=-2(舍去),当x=3时,y=15,即P(3,15). 故符合条件的点P有两个,分别是(,)或(3,15).

1.(2017预测)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为(1,),与y轴的交点C的坐标为(0,3),与x轴交于点A,B(A在B的左侧).
(1)求抛物线的表达式;
(2)若过点A的直线l平分△ABC的面积,求直线l的表达式;
(3)点P从点A出发,沿点A向点B运动,运动速度为每秒2个单位,同时点Q从B出发沿BC向点C运动,运动速度为每秒1个单位,连接PQ,,△PBQ与△ABC相似时t的值.

解:(1)-x2+x+3;(2)令y=-x2+x+3=0,解得x1=-2,x2=4,∴点A(-2,0),点B(4,0).设BC的中点为E,则点E的坐标为(2,).∵直线l过点A,且平分△ABC的面积,∴直线l过点A和点E,设直线l的表达式为y=kx