四川高考题理科数学第题分析报告会.doc

2015年四川高考理科数学第21题试题分析
内江六中王锋
2015年普通高考理科数学(四川卷)依然遵循《考试大纲》及《考试说明(四川卷)》要求,保持了近几年的四川卷命题风格,在题型、题量、难度方面保持了相对稳定,立足现行教材,回归数学本质,重视基础知识、基本技能的考查,强调通性通法,注重能力立意,命题命制立足学科主干知识,将知识、方法、能力的考查融为一体,通过适度联系与综合等方式,在知识交汇处考查学生的数学思维方法和能力,同时试题在稳定中追求创新,有利于考查学生的数学素养与学****潜能,整个试卷布局合理,难度适中,有较好区分度,无偏题、怪题,有利于科学选拨人才,维护社会公平与稳定。下面就21题谈一谈个人的不成熟看法,有不妥之处还望各位批评指正!

21.(本小题14分)已知函数,其中。
(1)设是的导函数,讨论的单调性;
(2)证明:存在,使得在区间内恒成立,且在区间内有唯一解。
本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。

第21题在素材选择、情景设置和设问方式上相比往年有所创新,和2014年最后一题类似,考查二阶导数和分类讨论,考查学生的探究意识,应用意识和创新意识,对考生综合与灵活运用所学数学知识、思想方法,进行独立思考分析,创造性的解决问题有较高且合理的要求。
同时第21题对数学思维的灵活性、深刻性、创造性都有较高要求,具有一定的难度,解答这些问题,需要具有较强的分析问题、探究问题和解决问题的能力。展示了数学学科的抽象性和严谨性,要求考生具有高层次的理性思维,考生解答时可以采用“联系几何直观—探索解题思路—提出合情猜想—构造辅助函数—结合估算精算—进行推理证明”的思路,整个解答过程与数学研究的过程基本一致,能较好地促进考生在数学学****的过程中掌握数学知识、探究数学问题和发现数学规律。这些试题具有立意深远、背景深刻、设问巧妙等特点,富含思维价值,体现了课程改革理念,是检测考生理性思维广度、深度和学****潜能的良好素材。这样的设计,对考生评价合理、科学,鼓励积极、主动、探究式的学****有利于引导中学数学教学注重提高学生的思维能力、发展应用意识和创新意识,对全面深化课程改革、提高中学数学教学质量有十分积极的作用。

解法一:
(Ⅰ) 由已知,函数的定义域为,
,
所以.
当时,在区间,上单调递增,
在区间上单调递减;
当时,在区间上单调递增.
(说明:每个单调区间1分,共6分。若出现,扣1分)
(Ⅱ) 由,解得.
令.
则,.
故存在,使得.
令,.
由知,函数在区间上单调递增.
所以.
即.
当时,有,.
由(Ⅰ)知,在区间上单调递增,
故当时,,从而;
当时,,从而.
所以,当时,.
综上所述,存在,使得在区间内恒成立, 且在区间内有唯一解.
解法二:
(Ⅱ) 令,
则在区间内恒成立, 且在区间内有唯一解当且仅当在区间内恒成立, 且在区间内有唯一解.
.
由于且, 故时,.
当时, , 单调递减.
当时, , 单调递增.
从而, 当时, ,
.
令,
则,
.
从而存在使得.
令