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黎卡提方程的初等解法

摘要:常微分方程有着深刻而生动的实际背景,它从生产实践与科学技术中产生,而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具,例如化学,生物学,电子技术等等都提出大量的微分方程问题,那么就需要探讨微分方程的求解问题,本文介绍了著名的黎卡提方程的,给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件,使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解,并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示,最后举例对一些具体的黎卡提方程进行求解,及微分方程的应用举例。
关键词:黎卡提方程,变量方程,伯努利方程,线性方程
引言
常微分方程是数学的一个重要分支,也是偏微分方程,变分法,控制论等数学分支的基础。微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来,很快成了研究自然现象的强有力的工具。在17~18世纪,在力学,天文,物理和技术科学中,就已借助微分方程取得了巨大成就。
微分方程的首要问题是如何给定一个方程的通解或特解。到目前为止,人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。例如一阶微分方程中的变量分离方程、线性方程等等。
求一个方程的解最自然的想法是用初等解法求解,即把微分方程的求解问题化为积分问题,但这是不容易做到的,能用初等解法求解的微分方程为数很少,绝大部分的微分方程都无法求出通解,黎卡提方程便是其中的一个。
意大利数学家黎卡提于 1724 年给出了它的特殊形式,后来引起许多学者的研究。达朗贝尔在 1763年给出了它的一般形式,并首先称之为“黎卡提方程”;黎卡提方程不同于线性微分方程之处是还多含一项,但这就大大地改变了解的性质,即初等可积性丧失了,但在特殊情况下仍旧可以利用初等积分法进行求解。文献[2]和[3]汇集了很多可积方程和可积性成果;60年代以来,《美国数学月刊》上又连续发表了多篇关于这方面的论文;近年来《数学通报》也发表了多篇关于这一内容的文章,如[2][4]及[5]。上述工作在一定程度上推动了探索黎卡提方程解法的发展。但要彻底解决黎卡提方程的求解问题,仍需要进一步探讨和研究。
我们知道,黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解,但在一些特殊情况下却有初等解法,那么,在哪些情况下有呢?本文将首先给出黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件,使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解,并举例对一些具体的黎卡提方程进行求解,最后举出它的应用举例。

考虑
() 其中函数和是连续函数,而且不恒为零。
方程()通常叫作黎卡提方程,这是形式上最简单的非线性方程。
为了方便说明,我们首先给出几个有初等解法的微分方程类型及其求解的一般方法,并给出其通解表示。
类型1 变量分离方程
形如
()
的方程称为变量分离方程,其中, 分别为的连续函数。
其求解方法为:
对于变量分离方程
当,分离变量得
两边再同时积分得(其中C 为任意常数)
特别地,当时,方程的通解为
()
注意:在变量分离的过程的过程中,必须保证,但如果有根为,则不难验证也是微分方程的解,有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数,此解不包含在其中,解题时要另外补充上,不能遗漏。
例题解方程并求满足初始条件:当x=0时,y=1的特解。
解将变量分离,得到
两边