精算师概率论资料.doc

十二. 概率与统计
概率来自赌博及其他“未知”,我们猜1,2,3,4,5,6出现的百分率为,猜得对不对永远得不到证明,例如掷次,得
,
其中,若第次掷得“1”,我们取;掷不到1,,

便是所得“1”,不可能等于;“”只能是我们心中的“信度”:预期趋向无限大时,,骰生亦有涯,这样的预期不可能得到证明,况且,可能有人做了手脚,使充分大时,逼近,,如果骰子已掷,我用手盖住,偷看,知是2;你没看到,,考试成绩、生意盈亏、天气冷暖及领导民望都可估计,但不一定“准”:有测量或度量误差(measurement error)和概率风险或误差(probability risk或errors).游子情主角子青曾在赌
城拉斯威格斯(Las Vegas)时间:他与未婚妻梅芳白首偕老的机会大,还是赌
大小赢的机会大?,真相大白,梅芳染上七年之痒,要离开他,能不能白首偕老不再是概率问题,赌大小则仍是概率问题:
例:掷两个公平的骰子,计算得大、小的机会.
解:定义概率(probability)或样本(sample)空间(space)
是可能的结果,
的子集为事件(event),
,
,
得大的事件为
,
有15个元素:
(例如).
设中各结果发生的概率相等:每个出现的概率都是
.
故出现的概率为
,
小于.
在赌场上,赌大小一赔一,因此,赌客每赌一次在机会上都吃小亏,但往
往赌本及赌注上限比“机会”,小赢的机会增加,大输的机会也增加,输到没钱不能再赌,,,上限未到,子青已无力再赌.
任何一个概率(probability)都满足:
(这里样本空间是有限集合); (1)
; (2)
,,, (3)
其中是空集(不含任何元素),表示并(union),表示交(intersection):或,及.
例:证明
,

,

. (4)
证明:plement)是
.
因
(用)
及
(用)
相加,得
,
即
.
一般的情形可用数学归纳法证. 证毕.
学问:有对夫妻,各妻子扔一手帕,成堆,丈夫随意检回,至少有一人
检回妻子扔的手帕的概率是多少?
学答:设为丈夫检回自己妻子手帕的概率,
手帕为个位置,用上公式的符号得
,
,
,

,
,
故由(4)得
.
有些人觉得当人数增大时,,因
,
,
大于63%.
如果
,
,如果在事件中,任选,,都有
,
则我们说独立(independent)或随机独立(stochastically independent).
例:掷两个公平铜板,以H表正面,T表背面,则样本空间为:
.
设
,,.
因骰子是公平的,故对任一个S的元素, 或:

及
.
故
,, ,
,,
,.
所以两两独立,.
概率模型(probability model)
一事件发生,其中已知或未知;这样,,我们单位化条件所引发的概率:
,
容易证明是概率,即满足(1)—(3).为强调与相关,记为,
而叫为在条件下的概率;叫为下的条件概率(conditionally probability).如果独立,易证.
习题:用归纳法证

(5)
其中.
学问:瓮含五绿珠,两黄珠;瓮含三绿珠,,拿一
珠,,问珠来自的机会?
学答:设
选到瓮,选到瓮,选到黄珠.
问题是:
如果给出,容易计算,:
,.
我们得想法将条件转为条件:
()
(用性质(3))
.
因
,
故
.
答毕.
由上面字里行间的理得:
贝氏法则:设,,各,且,
, …两两不相交,则
.
前式里,,,…的秩序是任意的,因此容易(或不必)写出的公
式,.
注: Bayes(1702—1761).
回到赌大小上,子青在赌博时凝神注视看和;它是一个在集上的实函
数:
,.
样本空间上的实函数都叫随机变量(random variable),它与一般函数不同的地方
在于它对应一个概