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卷积码的维特比译码
卷积编码器自身具有网格结构,基于此结构我们给出两种译码算法:Viterbi 译码算法和 BCJR 译码算法。基于某种准则,这两种算法都是最优的。1967 年,Viterbi 提出了卷积码的 Viterbi 译码算法,后来 Omura 证明 Viterbi 译码算法等效于在加权图中寻找最优路径问题的一个动态规划(Dynamic Programming)解决方案,随后,Forney 证明它实际上是最大似然(ML,Maximum Likelihood)译码算法,即译码器选择输出的码字通常使接收序列的条件概率最大化。BCJR 算法是 1974 年提出的,它实际上是最大后验概率(MAP,Maximum A Posteriori probability)译码算法。这两种算法的最优化目标略有不同:在 MAP 译码算法中,信息比特错误概率是最小的,而在 ML 译码算法中,码字错误概率是最小的,但两种译码算法的性能在本质上是相同的。由于 Viterbi 算法实现更简单,因此在实际应用比较广泛,但在迭代译码应用中,例如逼近 Shannon 限的 Turbo 码,常使用 BCJR 算法。另外,在迭代译码应用中,还有一种 Viterbi 算法的变种:软输出 Viterbi 算法(SOVA,Soft-Output Viterbi Algorithm),它是 Hagenauer 和 Hoeher 在 1989 年提出的。
为了理解 Viterbi 译码算法,我们需要将编码器状态图按时间展开(因为状态图不能反映出时间变化情况),即在每个时间单元用一个分隔开的状态图来表示。例如(3,1,2)非系统前馈编码器,其生成矩阵为:
GD=[1+D1+D21+D+D2] (1)
图1 (a)(3,1,2)编码器(b)网格图(h=5)
假定信息序列长度为 h=5,则网格图包含有 h+m+1=8 个时间单元,用 0 到 h+m= 7 来标识,如图1(b)所示。假设编码器总是从全 0 态 S0 开始,又回到全 0 态,前 m=2 个时间单元对应于编码器开始从 S0“启程”,最后 m=2 个时间单元对应于向 S0 “返航”。从图中我们也可以看到,在前 m 个时间单元或最后 m 个时间单元,并不是所有状态都会出现,但在网格图的中央部分,在每个时间单元都会包含所有状态,且在每个状态都有 2k=2 个分支离开和到达。离开每个状态的上面分支表示输入比特为 1(即 ui=1,i 表示第 i 个时间单元),下面的分支表示输入比特为 0。每个分支的输出vi 由 n 个比特组成,共有 2h=32 个码字,每个码字都可用网格图中的唯一路径表示,码字长度 N=n(h+m)=21。例如当信息序列为u=(11101)时,对应的码字如图1(b)中红线所示,v=(111,010,001, 110,100,101,011)。在一般的(n,k,v)编码器情况下,信息序列长度 K*=kh,离开和进入每个状态都有 2k 个分支,有2K* 个不同路径通过网格图,对应着2K* 个码字。
假设长度K*=kh的信息序列u=(u0,u1 uh-1) 被编码成长度为 N=n(h+m) 的码字v=(v0, v1 vh+m+1) ,在经过一个二进制输入、Q-ary 输出的离散无记忆信道(DMC, Discrete