《极值点偏移问题的处理策略及探究》.doc

极值点偏移问题的处理策略及探究所谓极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值,且函数与直线交于,两点,则的中点为,,作为热点以压轴题的形式给出,很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样,有些题型是不含参数的,而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决?含参数的又该如何解决,参数如何来处理?是否有更方便的方法来解决?其实,处理的手段有很多,方法也就有很多,我们先来看看此类问题的基本特征,再从几个典型问题来逐一探索!【问题特征】【处理策略】.(2010天津理)已知函数,如果,且,证明:【解析】法一:,易得在上单调递增,在上单调递减,时,,,时,,函数在处取得极大值,且,,不妨设,则必有,构造函数,则,所以在上单调递增,,,则,所以,即,又因为,且在上单调递减,所以,即证法二:欲证,即证,由法一知,故,又因为在上单调递减,故只需证,又因为,故也即证,构造函数,,则在上单调递增,所以,即已证明对恒成立,:由,得,化简得…,不妨设,由法一知,.令,则,代入式,得,反解出,则,故要证:,即证:,又因为,等价于证明:…‚,构造函数,则,故在上单调递增,,从而也在上单调递增,,即证‚式成立,:由法三中式,两边同时取以为底的对数,得,也即,从而,令,则欲证:,等价于证明:…ƒ,构造,则,又令,则,由于对恒成立,故,在上单调递增,所以,从而,故在上单调递增,由洛比塔法则知:,即证,即证ƒ式成立,也即原不等式成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式,方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的,方法三、四则是利用构造新的变元,将两个旧的变元都换成新变元来表示,,求证:.【解析】思路1:函数的两个零点,等价于方程的两个实根,从而这一问题与例1完全等价,例1的四种方法全都可以用;思路2::因为函数有两个零点,所以,由得:,要证明,只要证明,由得:,即,即证:,不妨设,记,则,因此只要证明:,再次换元令,即证构造新函数,求导,得在递增,所以,因此原不等式获证.【点评】含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元的基础上,又多了一个参数,故思路很自然的就会想到:想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数。,为常数,若函数有两个零点,试证明:【解析】法一:消参转化成无参数问题:,是方程的两根,也是方程的两根,则是,设,,则,从而,此问题等价转化成为例1,:利用参数作为媒介,换元后构造新函数:不妨设,∵,∴,∴,欲证明,即证.∵,∴即证,∴原命题等价于证明,即证:,令,构造,此问题等价转化成为例2中思路二的解答,:直接换元构造新函数:设,则,反解出:,故,转化成法二,下同,,其图像与轴交于两点,:.【解析】由,易知:的取值范围为,在上单调递减,:利用通法构造新函数,略;法二:将旧变元转换成新变元:∵两式相减得:,记,则,设,则,所以在上单调递减,故,而,所以,又∵是上的递增函数,且,∴.容易想到,但却是错解的过程:欲证:,即要证:,亦要证,也即证:,很自然会想到:对两式相乘得:,即证:.考虑用基本不等式,也即只要证:.,,故此法错误.【迷惑】此题为什么两式相减能奏效,而变式相乘却失败?两式相减的思想基础是什么?其他题是否也可以效仿这两式相减的思路?【解决】此题及很多类似的问题,:若函数满足如下条件:函数在闭区间上连续;函数在开区间内可导,则在内至少存在一点,,,设函数图像与轴交于两点,因此,∴,……由于,显然与,与已知不是充要关系,.(11年,辽宁理)已知函数(I)讨论的单调性;(II)设,证明:当时,;(III)若函数的图像与轴交于两点,线段中点的横坐标为,证明:.【解析】(I)易得:当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.(II)法一:构造函数,利用函数单调性证明,方法上同,略;法二:构造以为主元的函数,设函数,则,,由,解得,当时,,而,所以,故当时,.(III)由(I)知,只有当时,且的最大值,函数才会有两个零点,不妨设,则