超几何分布与二项分布联系与区别.doc

在苏教版《数学选修2-3》的课本中,第二章《概率》,超几何分布(hyper-geometricdistribution)与二项分布(binomialdistribution)。通过实例,让学生认识模型所刻画的随机变量的共同特点,从而建立新的模型,并能运用两模型解决一些实际问题。然而在教学过程中,却发现学生不能准确地辨别所要解决的问题是属于超几何分布还是二项分布,学生对这两模型的定义不能很好的理解,一遇到含“取”或“摸”的题型,就认为是超几何分布,不加分析,随便滥用公式。事实上,超几何分布和二项分布确实有着密切的联系,但也有明显的区别。课本对于超几何分布的定义是这样的:一般的,若一个随机变量X的分布列为,其中,则称X服从超几何分布,记为。其概率分布表为: 对于二项分布的定义是这样的:若随机变量X的分布列为,其中则称X服从参数为n,p的二项分布,记为。其概率分布表为: 超几何分布与二项分布都是取非负整数值的离散分布,表面上看,两种分布的概率求取有截然不同的表达式,但看它们的概率分布表,会发现构造上的相似点,如:随机变量X的取值都从0连续变化到l,对应概率和N,n,l三个值密切相关……可见两种分布之间有着密切的联系。课本中对超几何分布的模型建立是这样的:若有N件产品,其中M件是废品,无返回地任意抽取n件,则其中恰有的废品件数X是服从超几何分布的。而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型。若将但超几何分布的概率模型改成:若有N件产品,其中M件是废品,有返回的任意抽取n件,则其中恰有的废品件数X是服从二项分布的。在这里,两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别,只要将概率模型中的“无”改为“有”,或将“有”改为“无”,就可以实现两种分布之间的转化。“返回”和“不返回”就是两种分布转换的关键。:高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏:在一个口袋中装有10个红球、20个白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出5个球,摸到4个红球1个白球就是一等奖,求获一等奖的概率。本题采用的解法是摸出球中的红球个数X服从超几何分布,但是如果将“一次从中摸出5个球”改为“摸出一球记下颜色,放回后再摸一球,反复5次”,则摸出球中的红球个数X将不再服从超几何分布,而是服从二项分布。我们分别来计算两种分布所对应的概率: 这时发现发现两种不同的分布其对应的概率之间的差距进一步缩小了,我们做出这样的猜想:样本个数越大超几何分布和二项分布的对应概率相差就越小,当样本个数为无穷大时,超几何分布和二项分布的对应概率就相等,换而言之超几何分布的极限就是二项分布!也就是说。下面我们对以上猜想作出证明: 产品个数N无限大,设废品率为p,则, 以上的证明与我们的直观思想相吻合:在废品为确定数M的足够多的产品中,任意抽取n个(由于产品个数N无限多,无返回与有返回无区别,故可看作n次独立试验)中含有k个废品的概率当然服从二项分布。在这里,超几何分布转化为二项分布的条件是(1)产品个数应无限多,否则无返回地抽取n件产品是不能看作n次独立试验的.(2)在产品个数N无限增加的过程中,废品数应按相应的“比例”增大,否则上述事实也是不成立的。对于超几何分布的数学期望,二项分布的数学期望,当我们将“不返回”改为“返回”时,,两种