线代第三章习题答.doc

-1-(1)解:设则中第1行的非0元为,故同法可求:∵可组成四个4元排列1234,1432,3214,3412,故中相应的非0项有4项,分别为,,其代数和即为的值,整理后得(2)解:由行列式的定义仅当分别取2,3,…,n-1,n,1时,对应项不为零,-(1)证明:(2)证明:(3)证明:按最后一行展开,得3=2-(1)(2)(最后一行(n+1)行依次与第n,n-1,…,2,1行交换,经过n次交换;再将新的行列式的最后一行(即原来的n行)依次换到第二行,经过n-1次交换;。。。。最后一共经过次换行。使原行列式化为范德蒙德行列式)(3)∵∴(4)解:按第一列展开行列式,得(5)当时,当时,-3-1利用伴随矩阵求下列矩阵逆阵(1)(3),其中解:-3-2设矩阵,,求,,解:,,,所以又存在,且,故3-3-,证明证明:可逆,且逆矩阵为,由于,可逆且可得另一方面,由由矩阵可逆定义知,可逆,且3-3-,证明:证明:若,则原式得证3-3-5设方阵满足,证明及都可逆,并求解:显然可逆且可逆且,即可逆,由,于是由得,,故3-3-(1)解:3-3-,有非零解?解:当时,即时,有非0解即,或时,-4-1求矩阵的秩与标准形矩阵(2)秩为2(3)易知,秩为4。3-4-:在秩为的矩阵中,有等于零的阶子式,没有等于零的阶子式,没有不等于零的阶子式。3-4-:任何秩为的矩阵均可表示为个秩为1的矩阵之和。证:设A为m×n矩阵,且R(A)=。故A必与矩阵B等价。即m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得A=PBQ。又其中是m×n矩阵,仅第i行第i列的元素为1,,证毕。3-4-:等价矩阵有相同的标准型矩阵。证:设为等价矩阵,则经过有限次初等行变换可换为。从而分别经过有限次初等行变换可换为相同的行最简型,-4-:法一:初等变换法法二:定义法n维向量空间