棣莫弗公式.doc

棣莫弗定理1科学原理设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1),Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].2解析证:先讲一下复数的三角形式的概念。在复平面C上,用向量Z(a,b)来表示Z=a+,该向量可以分成两个在实轴,,这两个分向量的模分别等于rcosθ,rsinθ(r=√a^2+b^2).所以,复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ).=r1(cosθ1+isinθ1),Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].其实该定理可以推广为一般形式:3推广设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1),Z2=r2(cosθ2+isinθ2),……,Zn=rn(cosθn+isinθn),则:Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)].4解析证:用数学归纳法即可,归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。如果把棣莫弗定理和欧拉(Euler)公式“e^iθ=cosθ+isinθ”(参见《泰勒公式》,严格的证明需要复分析)放在一起看,则可以用来理解欧拉公式的意义。利用棣莫弗定理有:Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)]如果可以把所有的复数改写成指数的形式,即:Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2,……,Zn=rne^iθn,Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……+θn)=Z2=……=Zn=Z,,A.(DeMoivre,Abraham)1667年5月26日生于法国维特里的弗朗索瓦;. 棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家,其父一生勤俭,,稍大后进入当地一所天主教学校念书,这所学校宗教气氛不浓,学生们得以在一种轻松、自由的环境中学****他离开农村,进入色拉的一所清教徒学院继续求学,这里却戒律森严,令人窒息,学校要求学生宣誓效忠教会,棣莫弗拒绝服从,于是受到了严厉制裁,,学校不重视数学教育,,(Huygens)关于赌博的著作,特别是惠更斯于1657年出版的《论赌博中的机会》(Deratiociniisinludoaleae)一书,,棣莫弗来到巴黎,幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、(Ozanam).在奥扎拉姆