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高中数学复****笔记(整理于2013-8)函数图象1、对称:y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称,例如:与()关于y轴对称y=f(x)与y=—f(x)关于x轴对称,例如:与关于x轴对称y=f(x)与y=—f(-x)关于原点对称,例如:与关于原点对称y=f(x)与y=f(x)关于y=x对称,例如:y=10与y=lgx关于y=x对称y=f(x)与y=—f(—x)关于y=—x对称,如:y=10与y=—lg(—x)关于y=—x对称注:偶函数的图象本身就会关于y轴对称,而奇函数的图象本身就会关于原点对称,例如:图象本身就会关于y轴对称,的图象本身就会关于原点对称。y=f(x)与y=f(a—x)关于x=对称()注:求y=f(x)关于直线xyc=0(注意此时的系数要么是1要么是-1)对称的方程,只需由xy+c=0解出x、y再代入y=f(x)即可,例如:求y=2x+1关于直线x-y-1=0对称的方程,可先由x-y-1=0解出x=y+1,y=x-1,代入y=2x+1得:x-1=2(y+1)整理即得:x-2y-3=02、平移:y=f(x)y=f(x+)先向左(>0)或向右(<0)平移||个单位,再保持纵坐标不变,横坐标压缩或伸长为原来的倍(若y=f(x+)y=f(x)则先保持纵坐标不变,横坐标压缩或伸长为原来的倍,再将整个图象向右(>0)或向左(<0)平移||个单位,即与原先顺序相反)y=f(x)y=f先保持纵坐标不变,横坐标压缩或伸长为原来的||倍,然后再将整个图象向左(>0)或向右(<0)平移||个单位,(反之亦然)。3、必须掌握的几种常见函数的图象二次函数y=a+bx+c(a)(懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值)指数函数()(理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系)幂函数()(理解并掌握该函数的单调性与幂指数a的关系)对数函数y=logx()(理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系)y=(a为正的常数)(懂得判断该函数的四个单调区间)三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx(能根据图象判断这些函数的单调区间)注:三角中的几个恒等关系sinx+cosx=11+tanx=secx1+cotx=cscxtanx=1利用函数图象解题典例已知分别是方程x+10=3及x+lgx=3的根,求:分析:x+10=3可化为10=3—x,x+lgx=3可化为lgx=3—x,故此可认为是曲线y=10、y=lgx与直线y=3—x的两个交点,而此两个交点关于y=x对称,故问题迎刃而解。答案:34、函数中的最值问题:二次函数最值问题结合对称轴及定义域进行讨论。典例:设a∈R,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x).【解】(1)当x≥a时,f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+若a≤-时,则f(x)在[a,+∞]上最小值为f(-)=-a若a>-时,则f(x)在[a,+∞)上单调递增fmin=f(a)=a2+1(2)当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+若a≤时,则f(x)在(-∞,单调递减,fmin=f(a)=a2+1当a>时,则f(x)在(-∞,上最小值为f()=+a综上所述,当a≤-时,f(x)的最小值为-a当-≤a≤时,f(x)的最小值为a2+1当a>时,f(x)的最小值为+a利用均值不等式典例:已知x、y为正数,且x=1,求x的最大值分析:x==(即设法构造定值x=1)==故最大值为注:本题亦可用三角代换求解即设x=cos,=sin求解,(解略)通过求导,找极值点的函数值及端点的函数值,通过比较找出最值。利用函数的单调性典例:求t的最小值(分析:利用函数y=在(1,+)的单调性求解,解略)三角换元法(略)数形结合例:已知x、y满足x,求的最值5、抽象函数的周期问题已知函数y=f(x)满足f(x+1)=—f(x),求证:f(x)为周期函数证明:由已知得f(x)=—f(x—1),所以f(x+1)=—f(x)=—(—f(x—1))=f(x—1)即f(t)=f(t—2),所以该函数是以2为最小正周期的函数。解此类题目的基本思想:灵活看待变量,积极构造新等式联立求解二、圆锥曲线1、离心率圆(离心率e=0)、椭圆(离心率0<e<1)、抛物线(离心率e=1)、双曲线(离心率e>1)。焦半径椭圆:PF=a+ex、PF=a-ex(左加右减)(其中P为椭圆上任一点,F为椭圆左焦点、F为椭圆右焦点)注:椭圆焦点到其相应准线的距离为双曲线:PF=|ex+a|、PF=|ex-a|(左加右减)(其中P为双曲线上任一点,F为双曲线左焦点、F为双曲线右焦点)注:双曲线焦点到其相应准线的距离为抛物线:抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离(解题中常用)圆锥曲线中的面积公式:(F、F