高三数学简单几何体.doc

简单几何体一、知识网络二、高考考点 ; 、棱锥的表面积与体积; 、棱锥为载体的垂直关系或平行关系的证明,角与距离的寻求与计算; :表面积、体积、球面距离、经纬度以及基本的“接”与“切”问题。三、知识要点(一)棱柱 1、棱柱的概念有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱。在这里,两个互相平行的面叫做棱柱的底面;其余各面叫做棱柱的侧面;两个面的公共边叫做棱柱的棱;其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点;不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线;两个底面的距离叫做棱柱的高。点拨:(1)根据定义判定一个多面体是否为棱柱,一般是首先看“面”,即考察该多面体是否有两个面互相平行,并且除这两个面之处的其余各面都是四边形;其次看“线”,即考察每相邻两个四边形的公共边是否平行。在这里,同一棱柱的底面的选择也会有不同方案,解题时要注意这种特殊棱柱的底面可变性的应用。(2)注意区别两个概念: ①棱柱的棱与棱柱的侧棱; ②棱柱的对角线与棱柱某一面的多边形的对角线。 2、棱柱的分类(1)按底面多边形的边数分类:三棱柱、四棱柱、……、n棱柱; (2)按侧棱与底面的关系分类。特例:(Ⅰ)四棱柱的分支(或特殊情形):循着由一般到特殊的途径其中,特别注意(Ⅱ)长方体的特性①长方体的对角线的平方,等于它的长、宽、高的平方和②设对角线与各棱所成的角分别为α,β,γ,则③设对角线与各面所成的角分别为α,β,γ,则 3、棱柱的性质(1)侧棱都相等,侧面是平行四边形; (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; (3)经过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; 4、面积与体积(1)设柱体(棱柱或圆柱)的底面积为S,高为h, 则柱体的体积(2)设棱柱的侧棱长为,直截面(垂直于侧棱的截面)的周长为C,面积为S, 则棱柱的体积:; 棱柱的侧面积:。(二)棱锥 1、棱锥的定义: 有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫做棱锥;这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高。提醒:由上述定义可知,棱锥有两个本质的特征: (1)有一个面是多边形; (2)其余各面是有一个公共顶点的三角形,这二者缺一不可。“有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体不一定是棱锥。特例:三棱锥(即四面体)的任何一个面都可以作为底面(三棱锥底面的可变性),这是其它棱锥所不具备的;运用体积法求距离,就是利用三棱锥的体积及其底面的可变性;值得注意的是,一个三棱锥的四个面可以都是直角三角形。 2、棱锥的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相似,并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。 3、正棱锥(1)正棱锥的定义:如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面内的射影为底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥。(2)正棱锥性质: (Ⅰ)各侧棱相等;各侧面都是全等的等腰三角形;各等腰三角形底边上的高(正棱锥的斜高)相等。(Ⅱ)正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形; 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形;提醒:正棱锥必须满足两个条件:一是底面为正多边形;二是顶点在底面上的射影恰为底面多边形的中心,这二者缺一不可。正棱锥除去上面指出的两个直角形外,正棱锥的底面半径、边心距和半边长也组成一个直角三角形;正棱锥侧面上的侧棱、相应的斜高和半边长也组成一个直角三角形,这些特殊的三角形是解决正棱锥问题的基础和突破口。 4、面积与体积(1)设正棱锥的底面周长为C,斜高为h′, 则它的侧面积(2)若一个棱锥所有的侧面与底面组成二面角都等于锐角α,并且顶点在底面上的射影在底面多边形的内部, 则有(3)设锥体(棱锥或圆锥)的底面积为S,高为h 则锥体的体积。认知:由柱体和锥体的体积的阅读材料可知,任何一个三棱柱都可以分割成体积相等的三棱锥,反之,以任何一个三棱锥为基础都可以补充成同底等高的三棱柱。这种割补化归的思想是立体几何中的重要思想,解题时应注意这种思想和手段的运用。(三)球 1、球的概念(1)定义(2)球的元素球的半径:连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。球的直径:连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 2、球的截面的性质用一个平面去截球,截面是圆面,球的截面有如下性质: (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面。(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有如下关系: 其中(Ⅰ)当d=0时,截面过球心,此时截面面积最大。球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。(