解三角形公式.docx

海伦-秦九韶公式假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:而公式里的p为半周长(周长的一半):注1:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以和两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量,R是此三角形外接圆的半径)。变形公式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c(3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC余弦定理a^2=b^2+c²-osAb^2=a^2+c^2-osBc^2=a^2+b^2-2abcosC注:勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。变形公式cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abcosB=(a^2+c^2-b^2)/osA=(c^2+b^2-a^2)/2bc海伦-秦九韶公式p=(a+b+c)/2(公式里的p为半周长)假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]高中数学基本不用。已知三条中线求面积方法一:已知三条中线Ma,Mb,Mc,则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3;方法二:已知三边a,b,c;则S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)];其中:p=(a+b+c)/2;b^2+c^2=a^2cosA=0A=90°直角 b^2+c^2<a^2cosA<0A>90°钝角 b^2+c^2>a^2cosA>0A<90°锐角※a边必须是最大边3解三角形编辑正弦定理已知条件:一边和两角(如a、B、C,或a、A、B)一般解法:由A+B+C=180°,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时,有一解。余弦定理已知条件:两边和夹角(如a、b、C)一般解法:由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180°求出另一角,在有解时有一解。已知条件:三边(如a、b、c)一般解法:由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180°,求出角C在有解时只有一解。正弦定理(或余