解答题重难点题型八第23题二次函数综合题.doc

解答题重难点题型(八) 第23题二次函数综合题在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,,设点P的横坐标是m.(1)求这个二次函数的解析式;(2)过点P作PM⊥x轴于点M,交AC于点Q,求线段PQ的最大值;(3)在(2)的条件下,过点P作PH⊥AC于点H,求△PHQ周长的最大值;(4)是否存在点P,使△APC的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;(5)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;(6)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于x轴,,使以点B,Q,E为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;(7)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以A,C,M,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.(1)【思路点拨】要求抛物线y=ax2+bx+2的解析式,该解析式中有两个未知数,故需要知道经过该抛物线上的两个点的坐标,结合题意,点A和点B是该抛物线上两点,将这两个点的坐标代入,利用待定系数法可求得抛物线的解析式.【自主解答】解:∵抛物线y=ax2+bx+2过点A(-3,0),B(1,0),∴解得∴二次函数的解析式为y=-x2-x+2.(2)【思路点拨】设出点P的坐标,并用含有字母的代数式表示出PQ的长度,结合字母的取值范围,求出PQ的最大值.【自主解答】解:如图1,由题知,C(0,2),A(-3,0),图1∴可得直线AC的解析式为y=x+(m,-m2-m+2).∵PQ⊥x轴且点Q在直线y=x+2上,∴Q(m,m+2).∴PQ=(-m2-m+2)-(m+2)=-m2-2m=-(m+)2+.∴当m=-时,PQ取得最大值,最大值为. (3)【思路点拨】在Rt△PHQ中,将PH,QH的边长用PQ的长度表示出来,从而要求△PHQ周长的最大值转化为即求PQ长度的最大值.【自主解答】解:如图2,由题知AO=3,CO=2,∴AC=.图2∵PH⊥AC,PQ∥y轴,∴∠QPH=∠∠QPH=sin∠CAO==,cos∠QPH=cos∠CAO==, ∴C△PHQ=PQ+QH+PH=PQ+PQsin∠QPH+PQcos∠QPH=(1+sin∠QPH+cos∠QPH)PQ., 由(2)知,PQ=-m2-2m,则C△PHQ=(1+sin∠QPH+cos∠QPH)PQ=(1++)·(-m2-2m)=·=-(m+)2+.∵<0,且-3<m<0,∴x=-时,C△PHQ最大为.∴△PHQ周长的最大值为.(4)【思路点拨】要使△ACP的面积最大,可先把△APC的面积用含有字母的式子表示出来,再利用二次函数的性质讨论其最值,进而求得点P坐标.【自主解答】解:设点P坐标为(m,-m2-m+2).方法一:由(2)知PQ=-m2-2m,∴S△ACP=S△PQC+S△PQA=·PQ·(xC-xP)+·PQ·(xP-xA)=·PQ·(xC-xA)=·(-m2-2m)·[0-(-3)]=-m2-3m=-(m+)2+.图3∵-1<0,-3<m<0,∴当m=-时,S△PAC最大,此时,点P(-,).∴存在点P(-,),使△:如图3,连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N轴于N.∴PM=-m2-m+2,PN=-m,AO=,C(0,2),∴OC=△PAC=S△PAO+S△PCO-S△ACO=AO·PM+CO·PN-AO·CO=×3·(-m2-m+2)+×2·(-m)-×3×2=-m2-3m=-(m+)2+.∵a=-1<0,-3<m<0,∴当m=-时,S△-×(-)2-×(-)+2=,∴存在点P(-,),使△PAC的面积最大. (5)【思路点拨】△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形,则需分以点C或点B为直角顶点的等腰直角三角形两种情况讨论.【自主解答】解:如图4所示,以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3,则点Q1,Q2,Q3,⊥y轴于点D,∵∠BCQ1=90°,∴∠Q1CD+∠OCB=90°.又∵在直角△OBC中,∠OCB+∠CBO=90°,∴∠Q1CD=∠∵Q1C=BC,∠Q1DC=∠BOC,∴△Q1CD≌△CBO(AAS).∴Q1D=OC=2,CD=OB=1,∴OD=OC+CD=3.∴Q1(2,3).同理求得Q2(3,1),Q3(-1,-1),Q4(-2,1).∴存在点Q,使△