第9章 动能定.doc

:在一无限小位移中力所做的功称为力的元功。d或d直角坐标形式力在有限路程上的功:力在有限路程M1M2上的功为力在此路程上元功的定积分。即或常见力的功:,即动能是描述质点系运动强度的一个物理量。(1)平动刚体的动能:(2)定轴转动刚体的动能:(3)。动能定理的微分形式为即在质点系无限小位移中质点系动能的微分等于作用在质点系上所有力的元功之和。动能定理的积分形式为即在有限路程中质点系动能的改变量等于作用在质点系上所有的力在该路程上的有限功之和。、方向均为确定的力的作用,该空间称为力场。在势力场中质点从某一位置M移至选定的基点M0的过程中势力所做的功。势力的功仅与质点起点与终点位置有关,而与质点运动的路径无关。(1)重力场中的势能若零势能点选在z0=0处,于是对于质点系或刚体其中是系统的重力,zC是质心的坐标。(2)弹性力场中的势能如取弹簧的自然位置为基点机械能守恒定律质点或质点系在某一位置的动能与势能之代数和称为机械能。若质点系在运动过程中只受有势力作用,则其机械能保持不变。称为机械能守恒定律。、功、势能等基本物理量。会正确应用动能定理的微分形式,解决主动力与加速度之间的关系,主要可求出物体的加速度,以解决系统的动力学问题。会正确应用动能定理的积分形式,解决系统的力与运动的问题,主要解决位移、速度与力之间的关系。,力一般按主动力和约束力分类,在理想约束的情况下,约束力的元功之和为零,具有理想约束的一个自由度系统,利用动能定理就可以决定质点系在已知主动力作用下物体的运动规律。特别对于物系问题,可以整体为研究对象,利用动能定理的微分形式求解物系中某一物体的加速度更为方便。动能定理的积分形式也给出了质点系在运动过程中速度与位置之间的关系。-1刚度系数为k的弹簧,将上端A固定,下端挂一重量FP的小球(图9-13)。将小球托起,使弹簧具有原长,即小球在自然位置O,然后放手并给小球以向下的初速度v0。求小球所能下降的最大距离δ。解:以小球在自然位置O为始点,这时速度大小为v0;小球下降到最低处B为终点时,这时速度v=0,而弹簧的伸长为δ。小球运动时所受的力有重力FP和弹性力F。当小球由O运动到B时,重力FP所做的功等于FPδ;至于弹性力F所做的功,在式(9-9)中令δ1=0,δ2=δ,即知为。由质点动能定理得即解得例9-1图令为FP的静力作用下弹簧的伸长,称为静伸长,于是例9-2图9-2所示系统中,滚子A、滑轮B均质,重量和半径均为FP1及r,滚子沿倾角为a的斜面向下滚动而不滑动,借跨过滑轮B的不可伸长的绳索提升重FP的物体,同时带动滑轮B绕O轴转动,求滚子质心C的加速度aC。解法一求加速度宜用动能定理的微分形式(a)先写出系统在运动过程中任意位置的动能表达式(b)A轮纯滚动,D为A轮瞬心,所以例9-2图又代入式(b),得(c)(d)主动力FP1、FP的元功(e)因纯滚动,滑动摩擦力F不作功,将式(d)及式(e)代入式(a),两边再除以dt,且知,得解法二此题亦可用动能定理的积分形式,求出任意瞬时的速度表达式,再对时间求一阶导数,得到加速度。由该系统在任意位置的动能表达式(c)所示,设系统的初始动能为T0,它是一个定值,设从初始至任意位置,圆轮质心C走过距离s,由式(9-22),得任意位置的动能(f)这里vC和s均为变量,将式(f)两边对时间求一阶倒数,得同样得到例9-3椭圆规位于水平面内,由曲柄带动规尺AB运动,如图所示。曲柄和AB都是均质杆,重量分别为FP和2FP,且OC=AC=BC=l,滑块A和B重量均为Q。常力偶M作用在曲柄上,设j=0时系统静止,求曲柄角速度和角加速度(以转角j表示)。FP2FPIFP2FP(a)(b)例9-3图解:由图9-3a所示的几何条件,OC=BC,j=q,因此OC×w=AB×w=w,系统由静止开始运动,当转过j角时,系统的动能为对AB如图9-3b所示,瞬心为Ⅰ,有运动关系为所示系统中力做的功为由动能定理的积分形式为其中,解得由动能定理的微分形式,得其中所以解得例9-4图示系统中,物块A重FP,均质圆轮B重Q,半径为R,可沿水平面纯滚动,弹簧刚度系数为k,初位置y=0时,弹簧为原长,系统由静止开始运动,定