一道课本概率习题的推广资料.doc

一道课本概率****题的推广浙江省象山中学张宗余315700在新教材第二册(下A)第141页“排列、组合和概率”的小结与复****中有这样一题“将并排的5个房间安排给5个工作人员临时休息,假定每人可以进入任一房间,且进入各个房间是等可能的,求每个房间恰好进入1人的概率。”分析:由于每个人可以进入任一房间,进入哪个房间有5种等可能的方法。根据分步计数原理,5个人进入5个房间共有种等可能的方法。每个房间中恰好各进去1人,相当于对5个人进行全排列,其排法的种数是5!,因此,每个房间恰好进入1人的概率:。纵向推广1:将并排的6个房间安排给5个工作人员临时休息,假定每人可以进入任一房间,且进入各个房间是等可能的,求指定的5个房间恰好进住1人的概率。分析:每人有6个房间可供选择,所以5个人住的方式有种,指定的5个房间各有1人住,其可能总数为5人的全排列5!,于是。纵向推广2:将上题中的“指定的5个房间恰好进住1人”改为“恰有5个房间各入住1人”,情况又如何?分析:题中的5个房间可以在6个房间中任意选取,其总数有种,对选定的5个房间,按上述的分析可知有5!种分配方式,所以恰有5个房间入住1人的概率为。将纵向推广1推广到一般情况1:将并排的N个房间安排给n个工作人员临时休息(N³n),假定每人可以进入任一房间,且进入各个房间是等可能的,求指定的n个房间各恰好进住1人的概率。分析:每人有n个房间可供选择,所以n个人住的方式有种,指定的n个房间各有1人住,其可能总数为n人的全排列n!,于是。将纵向推广2推广到一般情况2:将并排的N个房间安排给n个工作人员临时休息(N³n),假定每人可以进入任一房间,且进入各个房间是等可能的,求恰好有n个房间,其中各住1人的概率。分析:每人有N个房间可供选择,所以n个人住的方式有种,题中的n个房间可以在N个房间中任意选取,其总数有种,对选定的n个房间,按上述的分析可知有n!种分配方式,所以恰有n个房间入住1人的概率为。注:这是一个古典概型中的一个很典型的“分房问题”,事实上不少实际问题多可以归结为它的模型。例如,若把人解释为质点,把房间解释为相应空间中的小区域,这个问题就是统计物理学中的Maxwell-Boltzmann质点运动问题。横向推广1:设有m个不同的质点,每个质点以等可能落与M(M³m)个空间小区域(每个小区域能容纳的质点数是没有限制的),求某预先指定的m个空间小区域各含一个质点的概率。分析:由推广到一般情况1的结论得:。横向推广2:设有r个人,r£365,并设每人的生日在一年365天中的每一天的可能性是均等的,问此r个人有不同生日的概率是多少?(武汉理工大学2001年硕士研究生入学考试试题)分析:若把人解释为每人的生日,把房间解释为一年365天中的每一天,由推广到一般情况2的结论得:进一步引申:有r个人,(r£365),问至