高等数学试题讲解[1].doc

第一讲:函数与数列的极限的强化练****题答案
一、单项选择题
( )


解:,且定义域, ∴选D
,则的反函数是( )


解:令反解出:互换,位置得反函数,选A
,则下列函数为奇函数的是( )
解:的定义域且∴选C
( )


解: 排除法:A 有界,B有界,C
故选D
( )
A 必要条件 B 充分条件
C 充分必要条件 D 无关条件
解:收敛时,数列有界(即),反之不成立,(如有界,但不收敛,
选A
,与为等价无穷小,则= ( )
A B 1 C 2 D -2
解:, 选C
二、填空题(每小题4分,共24分)
,则的定义域为
解: ∵
∴定义域为

则
解:(1)令
(2)

解:(1),反解出:
(2)互换位置,得反函数
10.
解:原式

则
解:左式= 故
12.=
解:当时,~ ∴原式==
三、计算题(每小题8分,共64分)

解:
∴函数的定义域为

解:
故
,的反函数,求
解: (1) 求∴反解出:
互换位置得
(2)
。
解法(1):的定义域,关于原点对称
为奇函数
解法(2):
故为奇函数
,为奇函数,且,求及
解: 已知
即有
得
故
得
故
,求的值。
解:
故

解:(1)拆项,
(2)原式=

求
解: 原式=
四、综合题(每小题10分,共20分)
=,求=
并讨论的奇偶性与有界性。
解:(1)求
(2)讨论的奇偶性
为奇函数
(3)讨论的有界性
有界
,把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗(如图),试将漏斗的容积V表示成中心角的函数。
解:(1)列出函数关系式,设漏斗高为,底半径为,依题意:漏斗容积V=
故
(2)函数的定义域

故
五、证明题(每小题9分,共18分)
,证明可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。
证:(1)
(2)令
为偶函数
(3)令
为奇函数
(4)综上所述:偶函数+奇函数
24 设满足函数方程2+
=,证明为奇函数。
证:(1)
令函数与自变量的记号无关
(2)消去,求出

(3)的定义域
又
为奇函数
*选做题
1已知,求
解:
且
∴由夹逼定理知,原式
2 若对于任意的,函数满足:,证明为奇函数。
解(1)求:令
(2)令
为奇函数
第二讲:函数的极限与洛必达法则的强化练****题答案
一、单项选择题(每小题4分,共24分)
1. 下列极限正确的( )
A. B. 不存在
C. D.
解: 选C
注:
2. 下列极限正确的是( )
A. B.
C.
D.
解: 选A
注:
3. 若,,则下列正确的是( )
A.
B.
C.
D.
解: 选D
,
则( )
B. D.
解:
选B
,则= ( )
A.-1
解:
选C
,是比高阶无穷小,则( )
A. B.
D.
解:
故选A
二、填空题(每小题4分,共24分)
7.
解:原式
8.
解:原式
9.
解:原式
,
则=
解:
11.
解:又故原式=1

且,则正整数=
解:
故
三、计算题(每小题8分,共64分)

解: 原式=
原式

解:原式

解:令,当时,
原式

解:原式
注:原式

解: 原式
,求的值。
解:
19.
解: 原式

解: 原式

四、证明题(共18分)

,
证明
证:
证毕
,证明以下四个差函数的等价无穷小。
(1)
(2)
(3)
(4)
证:
当时,
当时,
当时,
当时,
五、综合题(每小题10分,共20分)

解: 原式
24. 已知,求常数的值。
解:(1)∵原极限存在且