2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.6指数函数幂函数对数函数增长的比较学案北师大版.docx

指数函数、幂函数、、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义,理解它们增长的差异性.(重点)、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢.(难点)[基础·初探]教材整理指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读教材P98~P103有关内容,>1时,指数函数y=ax是增函数,并且当a越大时,>1时,对数函数y=logax是增函数,并且当a越小时,>0,n>1时,幂函数y=xn显然也是增函数,并且当x>1时,n越大,=logax(a>1)增长最慢,幂函数y=xn(n>0),指数函数y=ax(a>1)增长的快慢交替出现,当x足够大时,一定有ax>xn>(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)y=x10比y=.( )(2)对于任意的x>0,都有2x>log2x.( )(3)对于任意的x,都有2x>x2.( )【答案】(1)× (2)√(3)×,自变量x充分大时,增长速度最慢的是( )=6x ==x6 =6x【解析】对数函数的增长速度最慢,即增长最慢的是y=log6x.【答案】 B[小组合作型]指数、对数、幂函数增长趋势的比较函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图3­6­(x1,y1),B(x2,y2),且x1<­6­1(1)请指出示意图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;(2)结合函数图像,比较f(8),g(8),f(2016),g(2016)的大小.【导学号:04100066】【精彩点拨】先观察图像,比较相关区域函数值的大小,最后得出结论.【尝试解答】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)∵g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=1000,f(10)=1024,∴f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10).∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2<,当x1<x<x2时,f(x)<g(x);当x>x2时,f(x)>g(x),且g(x)在(0,+∞)上是增函数.∴f(2016)>g(2016)>g(8)>f(8).三种函数模型的表达形式及其增长特点:(1)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(2)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.[再练一题](x)