第7讲随即响亮.ppt

概率论与数理统计第七讲问题的提出如:已知圆轴截面直径D的分布,§。一般地,设随机变量X的分布已知,求Y=g(X)(设g是连续函数)的分布。:当X取值-1,0,1,2时,Y取对应值4,1,0和1。由P{Y=0}=P{X=1}=,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=+=,P{Y=4}=P{X=-1}=:设随机变量X有如下概率分布:求Y=(X–1)2的概率分布。得Y的概率分布:一般地,若X是离散型随机变量,概率分布为如果g(x1),g(x2),…,g(xk),…中有一些是相同的,把它们作适当并项即可得到一串互不相同(不妨认为从小到大)的y1,y2,…,yi,….把yi所对应的所有xk(即yi=g(xk))的pk相加,记成qi,则q1,q2,…,qi,…就是Y=g(X)的概率分布。:设Y的分布函数为FY(y),则例2:设随机变量X有概率密度求Y=2X+8的概率密度。于是Y的密度函数注意到得这是求随机变量函数Y=g(X)的分布函数的一种常用方法。下面给出一个定理,当定理的条件满足时,可直接求随机变量函数的概率密度。定理1:设随机变量X有概率密度fX(x),设y=g(x)是处处可导的严格单调函数,记(a,b)为g(x)的值域,则随机变量Y=g(X)是连续型随机变量,概率密度为其中x=h(y)是y=g(x)的反函数,例3:设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布,求Y=-2lnX的概率密度。解:在区间(0,1)上,函数lnx<0,故y=-2lnx>0,于是y=-2lnx在区间(0,1)上单调下降,有反函数由前述定理,得注意取绝对值