全微分讲座课件.ppt

1. 偏导数的概念及有关结论
定义; 记号; 几何意义
函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法
求一点处偏导数的方法
先代后求(复杂时)如P69 4
先求后代
利用定义
求高阶偏导数的方法
逐次求导法、
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
§内容回顾
公式法
在原点的各偏导数是否存在?
讨论:
是否连续?
2
显然
求
的一阶偏导数及
解:
当时,
及(0,0)点处的二阶偏导数.
同理
不存在.
与
而
显然
解:
当时,
不存在,
不存在,
*二、全微分在数值计算中的应用(简介)
应用
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算
本节内容:
一、全微分的定义
全微分
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
可表示成
其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关,
称为函数
在点(x, y) 的全微分, 记作
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微,
处全增量
则称此函数在D 内可微.
(2) 偏导数连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微
由微分定义得可微必连续:
函数在该点连续
偏导数存在
函数可微
则
定理1(必要条件)
若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微,
则该函数在该点偏导数
同理可证
证: 由全增量公式
必存在,且有
得到对 x 的偏增量
另
函数也必连续
反例: 函数
易知 fx(0,0)= fy(0,0)=0
注意: 定理1 的逆定理不成立.
偏导数存在函数不一定可微!
即:
我们已知道函数f(x,y)在(0,0)处不连续,则当然不可微.
定理2 (充分条件)
证:
若函数
的偏导数
则函数在该点可微.