《高等代数习题》word版.doc

高等代数****题第一章基本概念§、设Z是一切整数的集合,?2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么?{a}A是否正确?3、、写出含有四个元素的集合{}、?6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例,并且进行改正.(i)(ii)(iii)(iv):(i)(ii)(iii)§ 映射1、,、、是不是全体实数集到自身的映射?:f是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射?5、令A={1,2,3}.?6、设a,b是任意两个实数且a<[0,1]到[a,b]、举例说明,对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说,fg与gf一般不相等。8、设A是全体正实数所成的集合。令(i)g是不是A到A的双射?(ii)g是不是f的逆映射?(iii)如果g有逆映射,g的逆映射是什么?9、设是映射,又令,证明(i)如果是单射,那么也是单射;(ii)如果是满射,那么也是满射;(iii)如果都是双射,那么也是双射,: 集合A规则1234全体整数全体整数全体有理数全体实数§、证明:2、,、证明二项式定理:这里,、、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。§ 整数的一些整除性质1、对于下列的整数,分别求出以除所得的商和余数:; ;; .2、设是整数且不全为0,而,,.证明,、:;如果且,:任意两个不等于零的整数都有唯一的最小公倍数;令是与的最小公倍数而,、设是一个大于1的整数且具有以下性质:对于任意整数,如果,,是一个素数().5、设是两两不相同的素数,而. 证明;利用证明,素数有无限多个.§,,,是一个数环,是不是数域?,两个数环的交还是一个数环;?,令由例1,,:是一个数环..,这里是与的最大公因数..第二章多项式§:若是(6),(6):§:(i)(ii):,其中且证明:,,证明:::整除必要且只要整除§.     计算以下各组多项式的最大公因式:(i)(ii)2.     设证明:若且和不全为零,则反之,.     令与是的多项式,而是中的数,并且证明::(i)是和的最大公因式;(ii)此处等都是的多项式。。,证明:由此进一步证明,对于任意正整数,:  ::若是与互素,并且与的次数都大于0,那么定理里的与可以如此选取,使得的次数低于的次数,的次数低于的次数,并且这样的与是唯一的。,使与的最大公因式是一次的。:如果那么对于任意正整数,。与的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式:且;如果∈F[x]且,那么证明:F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式,并且除了可能的零次因式的差别外,是唯一的。设都是最高次项系数是1的多项式,令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。::,证明:有最大公因式.[提示:如果不全为零,取是I中次数最低的一个多项式,则就是的一个最大公因式.]§.     在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积:2.     分别在复数域,实数域,.     证明:当且仅当4.     求在内的典型分解式;:数域