高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质4直角三角形的射影定理学案新人教a版.docx

.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 射影的相关概念阅读教材P20“探究”以上部分,:从一点向一直线所引垂线的垂足,,: 射影定理阅读教材P20~P22****题”以上部分,;­4­1,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,图1­4­1则有CD2=AD·=AD·=BD·­4­2,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于D且CD=4,则AD·DB=( )图1­4­ 【解析】由射影定理AD·DB=CD2=42=16.【答案】 A[质疑·手记]预****完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: [小组合作型] 与射影定理有关的计算已知CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,如果两直角边AC,BC的长度比为AC∶BC=3∶4.(1)求AD∶BD的值;(2)若AB=25cm,求CD的长.【精彩点拨】先根据AC∶BC与AD∶BD之间的关系求出AD∶BD的值;再根据斜边AB的长及AD∶=AD·BD,求得CD的长.【自主解答】(1)∵AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,∴=,∴=2=2=,即AD∶BD=9∶16.(2)∵AB=25cm,AD∶BD=9∶16,∴AD=×25=9(cm),BD=×25=16(cm),∴CD===12(cm).(1)时,,要紧抓线段比之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件,紧扣等式结构形式,达到最终目的.[再练一题]­4­3,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,若AD=2cm,DB=6cm,求CD,AC,BC的长.【导学号:07370019】图1­4­3【解】∵CD2=AD·DB=2×6=12,∴CD==2(cm).∵AC2=AD·AB=2×(2+6)=16,∴AC==4(cm).∵BC2=BD·AB=6×(2+6)=48,∴BC==4(cm).故CD,AC,BC的长分别为2cm,4cm,4cm.[探究共研型]射影定理探究1 除了用直角三角形相似的判定定理证明射影定理之外,你能用勾股定理证明吗?【提示】如图,在Rt△ABC中,∵AB2=AC2+BC2,∴(AD+BD)2=AC2+BC2,∴AD2+2AD·BD+BD2=AC2+BC2,∴2AD·BD=AC2-AD2+BC2-BD2.∵AC2-AD2=CD2,BC2-BD2=CD2,∴2AD·BD=2CD2.∴CD2=AD·△ACD中,AC2=AD2+CD2=AD2+AD·BD=AD(AD+BD)=AD·=BD· 直角三角形射影定理的逆定理是什么?如何证明?【提示】直角三角形射影定理的逆定理:如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项,:如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,若CD2=AD·BD,则△:∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠BDC=90°.又∵CD2=AD·BD,即AD∶CD=CD∶BD,∴△ACD∽△CBD,∴∠CAD=∠∵∠ACD+∠CAD=90°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠CAD=90°,即△ABC为直角三角形. 如图1­4­4所示,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E,DF⊥­4­4求证:CD3=AE·BF·AB.【精彩点拨】∠ACB=90°,CD⊥AB→CD2=AD·DB→CD3=AE·BF·A B.【自主解答】∵∠BCA=90°,CD⊥BA,∴CD2=AD·∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴AD2=AE·AC,BD2=BF·BC,∴CD4=AD2·BD2=AE·AC·BF·BC=AE·BF·AC·△ABC=AC·BC=AB·CD,∴CD4=AE·BF·AB·CD,即CD3=AE·BF·△ABC=AC·BC=AB·,常用射影定理来构造比例线段,从而为证明三角形相