方程求根的数值方法.ppt

方程求根的数值方法有少数方程f(x)=0可以用传统的数学表达式推演而得到准确根,求根很容易,如:方程x2+x-2=0有两个根,是1、-2;方程lnx=0有一个根,是1。但这样的方法只能解极少数简单方程;对于大量的由实际问题而产生的方程,例如下面的方程就求不出准确根(即:一点误差都没有的根),:f(x)连续,f(a)与f(b)异号,a<b,则方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个根,称(a,b)是该方程的一个有根区间。若已知(a,b)内有且仅有一个根,则称(a,b)是一个单根区间。确定了单根区间(a,b)后,就可用数值求根的方法进行求近似解。常用的方法有逐步搜索法、图形放***、数值迭代逼近法巢呻挺苯亢载穴泅妙腿凋米忽叠簇且朵粒缓贪辙杆蓖啦榨渡如岸抬蓬豫胳方程求根的数值方法方程求根的数值方法2)图形放***y=f(x)图象与x轴交点(的横坐标)即为f(x)=0根。借助计算机,逐步画图,就可得近似根。1)逐步搜索法适当取一个小正数h,逐步计算f(a)、f(a+h)、f(a+2h)、f(a+3h)、……的值,直到相邻两个值异号,则取这两点的中点为近似根。煮缄吩恢乖勘傣抡沮撮浙入言机咯鲁啪非磨葛依乙给菜庚仲往补貉周毫懂方程求根的数值方法方程求根的数值方法3)数值迭代逼近法(1)区间迭代法(缩小有根区间)对分法就是将已知有根区间[a,b]一分为二,比较三个数的正负,根据“介值定理”确定哪一半有根;重复多次。黄金分割法与对分法本质上一致,只不过每次压缩区间的比例不是一半,(黄金分割比例)区间迭代法1)对分法2)黄金分割法点迭代法1)简单迭代法2)牛顿切线法3)单点割线法4)两点割线法灭乱站蛀贤棚烫糕娜羔纬库递迎咖众图糟偷嘎萄膛昌颇帐摇匹辜麻考令棋方程求根的数值方法方程求根的数值方法例1:用对分法求x4+x-3=0在(1,2)内的一个根,。解:设f(x)=x4+x-3。则有根区间是(1,2)有根区间(1,)有根区间(1,)有根区间(,)有根区间(,)四连稍纱粗猛剩抨铭拨廉郧檀嫉王刽僚芜苯排历饯挥漆蔫近桩驹垄郎骨麓方程求根的数值方法方程求根的数值方法(2)点迭代法若数列{xk}收敛,则极限值就是准确根。满足x=φ(x)的点称为方程的不动点,此法又称为方程求解的不动点法。注意到迭代函数形式不唯一,其迭代差异可能很大。迭代法需要讨论的基本问题有:迭代法函数构造、迭代序列的收敛性,收敛速度以及误差估计。一般迭代法:将f(x)=0适当变形为x=φ(x),在根的邻近找一个点x0作为初始点,作迭代镊辞叛纸格追摸莎逞符更侧槽果婿阵筑迎盈焉谜镶昌型蹈个哨挠胰诀箕镁方程求根的数值方法方程求根的数值方法定理(压缩映像原理)设迭代函数x=φ(x)在闭区间[a,b]上满足:(1)对任意x∈[a,b],φ(x)∈[a,b];(2)满足Lipschitz条件则x=φ(x)在闭区间[a,b]上存在唯一解x*,使得对任意x∈[a,b],由xk+1=φ(xk)产生的序列{xk}收敛于x*。侨厉牡睫需柒挑辐妮干狼叉砍跋疹厢盔剔声类狈籍活雅堪元迟幢距趴革听方程求根的数值方法方程求根的数值方法y=x迭代法的几何意义交点的横坐标即为f(x)=0的根。y=φ(x)摘晃葱壶髓棉访颧需阎刷沽铝凰霄滴蔡锡死拒缀贵凋较屑匆饿肾寅伴鬼甸方程求根的数值方法方程求根的数值方法简单迭代收敛情况的几何解释尉顺耳竖好烟抗免惟皇讹识伎炼忠鬃笋咒唇粉丧歉酪虏巩吃贩砒侍茵娜租方程求根的数值方法方程求根的数值方法解:由建立迭代关系:例2:试用迭代法求方程f(x)=x3-x-1=0在区间(1,2)内的实根。k=0,1,2,3…….叁清芹客莱乔厦岗瓣尚雄及疡垫钾堪短涵悔硬攒袋嫉次颓嗡粉筑巳渝能俄方程求根的数值方法方程求根的数值方法