未解决数学难题.doc

一数学基础问题。1、数是什么?2、四则运算是什么?3、加法和乘法为什么符合交换律,结合律,分配律?4、几何图形是什么?二几个未解的题。1、求(1/1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+…+(1/n)^3=?更一般地:当k为奇数时求(1/1)^k+(1/2)^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+…+(1/n)^k=?背景:欧拉求出:(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+…+(1/n)^2=(π^2)/6并且当k为偶数时的表达式。2、e+π的超越性背景此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。已经证明了e^π的超越性,却至今未有人证明e+π的超越性。3、素数问题。证明:ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s+…(s属于复数域)所定义的函数ζ(s)的零点,除负整实数外,全都具有实部1/2。背景:此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想(任一偶数可以分解为两素数之和)和孪生素数猜想(存在无穷多相差为2的素数)。引申的问题是:素数的表达公式?素数的本质是什么?4、存在奇完全数吗?背景:所谓完全数,就是等于其因子的和的数。前三个完全数是:6=1+2+328=1+2+4+7+14496=1+2+4+8+16+31+62+124+248目前已知的32个完全数全部是偶数。1973年得到的结论是如果n为奇完全数,则:n>10^505、除了8=2^3,9=3^2外,再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗?背景:这是卡塔兰猜想(1842)。1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。1976年,荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。但是,由于这个数太大,有500多位,已超出计算机的计算范围。所以,这个猜想几乎是正确的,但是至今无人能够证实。6、任给一个正整数n,如果n为偶数,就将它变为n/2,如果除后变为奇数,则将它乘3加1(即3n+1)。不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1吗?背景:这角古猜想(1930)。人们通过大量的验算,从来没有发现反例,但没有人能证明。三希尔伯特23问题里尚未解决的问题。1、问题1连续统假设。全体正整数(被称为可数集)的基数和实数集合(被称为连续统)的基数c之间没有其它基数。背景:1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统,即策莫罗-佛朗克尔公理系统里,不可证伪。1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统,不能证明此假设是对的。所以,至今未有人知道,此假设到底是对还是错。2、问题2算术公理相容性。背景:哥德尔证明了算术系统的不完备,使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。3、问题7某些数的无理性和超越性。见上面二的25、问题8素数问题。见上面二的36、问题11系数为任意代数数的二次型。背景:德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。7、问题12阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。背景:此问题只有些零散的结果,离彻底解决还十分遥远。8、问题13