线性代数主要知识点.doc

《线性代数》的主要知识点
第一部分行列式
概念:
n阶行列式展开式的特点:①共有n!项,正负各半;
②每项有n个元素相乘,且覆盖所有的行与列;
③每一项的符号为
元素的余子式以及代数余子式
行列式的性质
计算方法:
对角线法则
行列式的按行(列)展开(另有异乘变零定理)
第二部分矩阵
矩阵的乘积
注意:①不满足交换率(一般情况下)
②不满足消去率(由AB=AC不能得出B=C)
③由AB=0不能得出A=0或B=0
④若AB=BA,则称A 与B是可换矩阵

满足的法则:,
,A为n阶方阵,则
称为A 的n次多项式。
对与对角矩阵有关的多项式有结论如下:
(1)如果,则
=
(2)若,则
:阶矩阵A,,若,则A,B互为逆矩阵。
n 阶矩阵A可逆;
(或表示为)即A为满秩矩阵;
A与E等价;
A可以表示成若干个初等矩阵的乘积;
A的列(行)向量组线性无关;
A的所有的特征值均不等于零
求法:①伴随矩阵法:
②初等变换法:或, E是单位矩阵
性质:(1)矩阵可逆,则的逆矩阵是唯一的
(2)设是阶矩阵,则有下列结论①若可逆,则也可逆,且
②若可逆,则也可逆,且
③若可逆,数,则可逆,且
④若为同阶矩阵且均可逆,则也可逆,且
:
满足下述运算规律(设为阶方阵,为数)
①②③
:行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵
,称为矩阵的伴随矩阵(注意行与列的标记的不同)
伴随矩阵具有性质:
常见的公式有:①②③④等
:由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。
三种初等变换对应着三种初等矩阵,分别记为:
(1)(互换E的第、列)
(2)(E的第行乘以不为零的数)
(3)(把E的行的倍加到第行上)
初等矩阵具有下述性质:初等矩阵的转置仍为初等矩阵;初等矩阵都是可逆矩阵,其逆矩阵仍为初等矩阵且、、
;
初等矩阵的行列式分别是-1,k, 1。
:初等行变换: 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
对调两行; 记为对换第行
以数乘某一行中的所有元素; 记为第行乘
把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去;记为第行倍加到第行上。把定义中矩阵的行换成列,即得矩阵的初等列变换的定义.
矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换
矩阵的初等变换与初等矩阵的关系:设A是一个矩阵,则
对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的阶初等矩阵;
对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的阶初等矩阵
:如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价。
且若矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与B行等价;
若仅经过初等列变换,就称A与B列等价。
设为矩阵
①与行等价阶可逆矩阵,使得
②与列等价阶可逆矩阵,使得
③等价阶可逆矩阵,阶可逆矩阵,使得
利用矩阵的初等变换解矩阵方程
,,可以:
,,可以: ,从而解出X。
:非零子式的最高阶数。记为
求法:A行阶梯形矩阵B,=B的非零行的行数。
相关公式:①若A是矩阵,则
②③=