精算师概率论资料.doc

概率来自赌博及其他“未知”,我们猜1,2,3,4,5,6出现的百分率为,猜得对不对永远得不到证明,例如掷次,得,其中,若第次掷得“1”,我们取;掷不到1,,便是所得“1”,不可能等于;“”只能是我们心中的“信度”:预期趋向无限大时,,骰生亦有涯,这样的预期不可能得到证明,况且,可能有人做了手脚,使充分大时,逼近,,如果骰子已掷,我用手盖住,偷看,知是2;你没看到,,考试成绩、生意盈亏、天气冷暖及领导民望都可估计,但不一定“准”:有测量或度量误差(measurementerror)和概率风险或误差(probabilityrisk或errors).游子情主角子青曾在赌城拉斯威格斯(LasVegas)时间:他与未婚妻梅芳白首偕老的机会大,还是赌大小赢的机会大?,真相大白,梅芳染上七年之痒,要离开他,能不能白首偕老不再是概率问题,赌大小则仍是概率问题:例:掷两个公平的骰子,计算得大、:定义概率(probability)或样本(sample)空间(space)是可能的结果,的子集为事件(event),,,得大的事件为,有15个元素:(例如).设中各结果发生的概率相等:,,赌大小一赔一,因此,赌客每赌一次在机会上都吃小亏,但往往赌本及赌注上限比“机会”,小赢的机会增加,大输的机会也增加,输到没钱不能再赌,,,上限未到,(probability)都满足:(这里样本空间是有限集合); (1); (2),,,(3)其中是空集(不含任何元素),表示并(union),表示交(intersection):或,:证明,,.(4)证明:plement)(用)及(用)相加,得,:有对夫妻,各妻子扔一手帕,成堆,丈夫随意检回,至少有一人检回妻子扔的手帕的概率是多少?学答:设为丈夫检回自己妻子手帕的概率,,用上公式的符号得,,,,,故由(4),,因,,大于63%.如果,,如果在事件中,任选,,都有,则我们说独立(independent)或随机独立(stochasticallyindependent).例:掷两个公平铜板,以H表正面,T表背面,则样本空间为:.设,,.因骰子是公平的,故对任一个S的元素,或:,,,,,,.所以两两独立,(probabilitymodel),其中已知或未知;这样,,我们单位化条件所引发的概率:,容易证明是概率,即满足(1)—(3).为强调与相关,记为,而叫为在条件下的概率;叫为下的条件概率(conditionallyprobability).如果独立,:用归纳法证(5):瓮含五绿珠,两黄珠;瓮含三绿珠,,拿一珠,,问珠来自的机会?学答:设选到瓮,选到瓮,:如果给出,容易计算,:,.我们得想法将条件转为条件:()(用性质(3)).因,:贝氏法则:设,,各,且,,…两两不相交,,,,…的秩序是任意的,因此容易(或不必)写出的公式,.注:(1702—1761).回到赌大小上,子青在赌博时凝神注视看和;它是一个在集上的实函数:,.样本空间上的实函数都叫随机变量(randomvariable),它与一般函数不同的地方在于它对应一个概率函数(probabilityfunction)或:,,,庄家经常宣传时得奖,(mean)或期望值(expectation)或:各的和.(6)易证各的和.(7)为度量与平均值的差,我们引或;并叫它作的标准差(standarddeviation),叫为的方差或变差(variance),记作:各的和.(8)易证.(9)或更一般地,,.(10)如果我们用去估计,那么,叫偏倚或偏度(bias).如果我们叫为平均误差(meansquareerror)或矛盾(contradiction),那么,相当于:平均误差=方差+,是一种内在矛盾;则因对外而起:的值已同化或团结为平均值,与外来的相比,