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通信原理
第8章差错控制编码
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第8章差错控制编码
概述
差错控制编码即纠错编码,或信道编码。
信道分类:从差错控制角度看
随机信道:错码的出现是随机的
突发信道:错码是成串集中出现的
混合信道:既存在随机错码又存在突发错码
差错控制技术的种类
检错重发
前向纠错
反馈校验
检错删除
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第8章差错控制编码
差错控制编码:常称为纠错编码
监督码元:上述4种技术中除第3种外,都是在接收端识别有无错码。所以在发送端需要在信息码元序列中增加一些差错控制码元,它们称为监督码元。
不同的编码方法,有不同的检错或纠错能力。
多余度:就是指增加的监督码元多少。例如,若编码序列中平均每两个信息码元就添加一个监督码元,则这种编码的多余度为1/3。
编码效率(简称码率) :设编码序列中信息码元数量为k,总码元数量为n,则比值k/n 就是码率。
冗余度:监督码元数(n-k) 和信息码元数 k 之比。
理论上,差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高传输可靠性。
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第8章差错控制编码
分组码的码重和码距
码重:把码组中“1”的个数目称为码组的重量,简称码重。
码距:把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距离,简称码距。码距又称汉明距离。
例如,“000”=晴,“011”=云,“101”=阴,“110”=雨,4个码组之间,任意两个的距离均为2。
最小码距:把某种编码中各个码组之间距离的最小值称为最小码距(d0)。例如,上面的编码的最小码距d0 = 2。
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第8章差错控制编码
码距和检纠错能力的关系
一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力
为检出e个错码,要求最小码距 d0  e + 1
为纠正t个错码,要求d0≥2t+1
为纠正t个错码,同时检测e个错码,要求最小码距
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第8章差错控制编码
线性分组码
基本概念
代数码:建立在代数学基础上的编码。
线性码:按照一组线性方程构成的代数码。在线性码中信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着的。
线性分组码:按照一组线性方程构成的分组码。
现以汉明码为例引入线性分组码的一般原理。
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第8章差错控制编码
汉明码
~能够纠正1位错码且编码效率较高的一种线性分组码
汉明码的构造原理。
在偶数监督码中,由于使用了一位监督位a0,它和信息位an-1 … a1一起构成一个代数式:
在接收端解码时,实际上就是在计算
若S = 0,就认为无错码;若S = 1,就认为有错码。现将上式称为监督关系式,S称为校正子。由于校正子S只有两种取值,故它只能代表有错和无错这两种信息,而不能指出错码的位置。
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第8章差错控制编码
若监督位增加一位,即变成两位,则能增加一个类似的监督关系式。由于两个校正子的可能值有4种组合: 00,01,10,11,故能表示4种不同的信息。若用其中1种组合表示无错,则其余3种组合就有可能用来指示一个错码的3种不同位置。同理,r个监督关系式能指示1位错码的(2r – 1)个可能位置。
一般来说,若码长为n,信息位数为k,则监督位数r=n-k。如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示1位错码的n种可能位置,则要求
下面通过一个例子来说明如何具体构造这些监督关系式。
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第8章差错控制编码
例:设分组码(n, k)中k = 4,为了纠正1位错码,由上式可知,要求监督位数 r  3。若取 r = 3,则n = k + r = 7。我们用a6 a5 a0表示这7个码元,用S1、S2和S3表示3个监督关系式中的校正子,则S1、S2和S3的值与错码位置的对应关系可以规定如下表所列:
S1 S2 S3
错码位置
S1 S2 S3
错码位置
001
a0
101
a4
010
a1
110
a5
100
a2
111
a6
011
a3
000
无错码
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第8章差错控制编码
由表中规定可见,仅当一位错码的位置在a2 、a4、a5或a6时,校正子S1为1;否则S1为零。这就意味着a2 、a4、a5和a6四个码元构成偶数监督关系:
同理, a1、a3、a5和a6构成偶数监督关系:
以及a0、a3、a4 和a6构成偶数监督关系
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