差分方程及微分方程数值解.doc

东南大学《数学实验》报告
实验内容:差分方程及微分方程数值解
一实验目的
熟悉迭代法及微分方程数值方法
二预备知识
(1)了解差分方程稳定性、周期分解、混沌等相关知识
(2)了解欧拉方法、龙格-库特方法。
三实验内容与要求

(一)Volterra方程数值解
方程
其中a=1,b=,c=,d=
命令与结果
在函数编辑器中输入:
function dxdt = euler( t,x )
dxdt=[ x(1)*(1-*x(2))
x(2)*(-+*x(1))];
end
四阶龙格-库塔公式:
在命令窗口中输入:
tspan=[0 15];
x0=[25;2];
[t,x]=ode45(***@euler,tspan,x0);
plot(t,x(:,1),'r-','LineWidth',);
hold on;
plot(t,x(:,2),'g-','LineWidth',);
hold on;
相图
四阶龙格-库塔公式:
axis([0 15 0 125])
legend('x(1)','x(2)')
grid on
title('The Numerical Solution Of Calculable way of fourth rank Rounge-kutt')
plot(x(:,1),x(:,2))
欧拉方法:
在命令窗口中输入:
tspan=[0 15];
x0=[25;2];
[t,x]=ode23(***@euler,tspan,x0);
plot(t,x(:,1),'r-','LineWidth',);
hold on;
plot(t,x(:,2),'g-','LineWidth',);
hold on;
axis([0 15 0 125])
legend('x(1)','x(2)')
grid on
title('The Numerical Solution Of Euler Equation')
>> plot(x(:,1),x(:,2))
欧拉公式:
轨线图
四/五阶龙格-库塔公式:
欧拉公式:
差分阻滞增长模型
在t时刻单位时间内的人口数量的变化量仅仅与此时的人口数量x有关(等于右边的值),其中的r表示人口的固有增长率,N表示能容纳的最大人口数.
经过单位时间,即一个繁殖周期的种群数量的增长量仅仅与前一个时期的种群数量有关。于是模型为

即
,,即k趋于无穷时, xk的极限如何,即差分方程平衡点的稳定性问题。
求得差分方程(2)的平衡点为0和(b-1)/(1)的平衡点0和N.
我们将这个差分方程(2)在平衡点附近展开,有
注意到b=1+r>1,平衡点0是不稳定的.
略去高阶项得
因此当|2-b|<1时,平衡点x*= (b-1)/b是稳定的. |2-b|>1即 b>3时,平衡点x*是不稳定的.
(1)稳定情况()


稳定性分析
b=