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高风险厌恶者的最优消费投资策略基金项目:国家自然科学基金资助项目(70471025)
刘富兵刘海龙朱微亮
(上海交通大学金融工程研究中心上海,200052)
摘要:在HJM利率期限结构框架下考虑了高风险厌恶者的消费投资组合问题。利用鞅方法,求得了高风险厌恶者的最优消费投资策略的解析解。结论表明,其最优投资策略是等数量的购买不同期限的零息债券,最优消费则是消费各不同期限债券所产生的到期固定收益。最后,利用得到的结论对中国居民的高储蓄行为提供了一种可能的解释。
关键词:风险厌恶 HJM利率期限结构鞅方法动态规划
中图分类号:F830 文献标识码:A
0 引言
长期债券已经发行几个世纪了,对于投资者来讲,它是再普通不过的金融工具了。长期债券之所以流行是因为它满足了投资者的需求。投资顾问和金融学家经常说长期债券适合寻求稳定收入的长期投资者。那么到底谁对长期债券有需求,谁应该购买长期债券呢?
自20世纪60年代以来,大量的金融经济学文献研究了债券的定价模型,但是却很少有文献提及长期债券的需求,其主要原因是我们很难刻画长期投资者的最优投资策略。
文献[1]首先系统地研究了该问题。作者在利率服从Vasicek模型的情况下建立了最优消费投资模型,并证明出于保值的需要,高风险厌恶者(相对风险厌恶系数趋于无穷大)的最优投资策略是将资金全部投资于长期债券,从而发现了长期债券的主要需求者,解开了人们长期以来对该问题的困惑。自此以后,高风险厌恶者在金融市场中的行为受到了越来越多的关注。
文献[2]在文献[1]的基础上对这类高风险厌恶者的资产配置进行了专门研究,他认为当投资者的风险厌恶趋于无穷大时,只要市场完备,不管利率期限结构及投资者的(关于终端财富)效用函形式如何,其最优的投资策略都是将其资金全部投资于到期日与终端时刻匹配的长期债券。然而,作者在考虑投资者的效用函数时,只考虑了终端财富,没有考虑中期的消费。
本文,在假定投资者的效用函数为CRRA的情况下,利用文献[3-5]的鞅方法,在更为一般的利率期限结构—HJM框架下研究了高风险厌恶者的最优消费投资策略。结论表明,其最优投资策略是等数量的购买不同期限的债券,最优消费则是消费各不同期限债券所产生的
到期固定收益。最后,利用本文的结论我们对中国居民的高储蓄行为提供了一种可能的解释。

在概率空间考虑一个连续的无摩擦的完备金融市场,其中为真实概率。设是定义在概率空间上表示金融市场中不确定性的标准维纳过程。不失一般性,假定是相互独立的。同时,假定概率空间是由生成的,则,其中域表示到时刻为止投资者可获得的信息。

假定投资者为追求效用最大化的,且其效用函数为:
(1)
其中为贴现因子,为常相对风险厌恶系数,为期消费,为最终的财富,且
, (2)
因此投资者的消费投资问题转化为选择消费投资策略以最大化效用函数(1)。

假定利率期限结构服从文献[6]中的因素HJM模型,且该期限结构的不确定性由生成。另外,假定远期利率的波动率是确定性函数。
设市场中到期日为的瞬时远期利率为:
(3)
由HJM模型知若使市场无套利,则须有
(4)
其中为利率风险的市场价格
由于瞬时短期利率,故
(5)
设到期日为,时刻零息债券的价格为,则
(6)
对方程(6)运用公式可得:
(7)
其中
(8)

假定投资者有三种资产可以投资:瞬时无风险资产、个利率衍生债券及个股票资产。假定维纳过程,其中如上节所述,由的前维元素构成,且利率衍生债券只受的影响;而由的后维元素构成,且股票的价格既依赖于又依赖于。三种资产价格的动态分别为:
(9)
其中分别为维矩阵,表示债券、股票的波动率,为股票的超额回报,为利率市场风险价格。假定市场风险价格为时间的确定性函数,其中为股票市场风险价格,则由无套利原理知,
。
由方程(9)知,市场的波动率矩阵为:
假定是非奇异的,故由 Duffie ,Huang [7]的研究结果知,市场是动态完备的。
由Duffie[8]知,市场中存在唯一的状态价格平减因子(state-price deflator)具有如下形式: (10)
且由鞅方法定价理论,我们有:
(11)

设为投资者投资于利率衍生债券及股票资产的比率,则投资者的财富过程遵从下面的运动:
(12)
从而投资者最大化其效用函数等价于选择一个动态的消费策略及投资策略使其成为下面问题的解:
(13)
由文献[3-5]等可知,当市场完备时,上述的动态规划问题等价于下面的静态问题:
(14)
该问题是标准的拉格朗日优化问题,利用鞍点定理可以确定最优的消费与终端财富