不定积分的计算(1).doc

§2不定积分的计算(1)(一)教学目的:掌握第一、二换元积分法与分部积分法.(二)教学内容:第一、二换元积分法;:熟练掌握换元积分法和分步积分法.(三)教学建议:(1)布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题.(2)总结分部积分法的几种形式:升幂法,降幂法和循环法.————————————————————————不定积分的计算一般由三种方法:凑公式法部积分法第二变量替换法一第一类换元法——凑公式法引出凑公式法:Th若连续可导,则该定理可叙述为::表面看不符合基本积分公式,但作变换,令后,而符合基本积分公式例1但作变换,令后例2不符合基本积分公式,稍微变换一下=令例3不符合基本积分公式,但用三角函数公式整令后化成凑公式法的关键是设法把凑成的形式,使符合基本积分公式。凑公式法的关键是设法把凑成的形式,使符合基本积分公式。分部积分我们讲导数时,知道从而有移项得或我们称这个公式为分部积分公式。当不容易积分,但容易积分时,我们就可以用分部积分把不容易积分的计算出来例4若令,代入分部积分公式但若令,代入分部积分公式比原积分还复杂由此可知,在用分部积分公式时,u,v的选择不是随意的,那个作u,那个作v,应适当选取,否则有可能计算很复杂甚至计算不出来。分析分不积分公式,我们可总结出下面一个原则:一般应把(相比之下)容易积分,积分后比较简单的函数作为,积分较难或积分后比较复杂的函数作为例4相比之下显然,容易积分,所以取分部积分公式也可以连续用多次例5 积分是它本身,积分是相比之下,容易积分,应选,再用一次分部积分公式例6二者积分难度相当,随意取那个作u都可,比如取代入分部积分公式再分部积分一次出现循环将上式最后一项移到左端合并整理分部积分使用的类型:一般说下面类型的不定积分等常用分部积分来计算****题课(凑公式法和分部积分法)常用的几种凑公式法凑法1例1例2例3例4由例1-4知,常可用初等化简把被积函数化为型,⑴.⑵.,=.凑法3例10⑴⑵::分部积分追求的目标之一是:对被积函数两因子之一争取求导,以使该因子有较大简化,(一般会变繁),“幂”型的积分,使用分部积分法可使“幂”降次,或对“”(幂对搭配)例47(幂三搭配)例48(幂指搭配)例49(幂指搭配)例50例51(幂反搭配)例52建立所求积分的方程求积分:分部积分追求的另一个目标是:对被积函两因子之一求导,进行分部积分若干次后,使原积分重新出现,==(参阅例41)解得,==,解得.§2不定积分的计算(2)第二换元积分法教学内容:第二换元积分法要求:掌握正弦代换,正切代换,正割代换,根式代换的技巧难点:代换的选择技巧第二类换元法:从积分出发,从两个方向用凑微法计算,即===,(证)常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,:⑴正弦代换:正弦代换简称为“弦换”是针对型如的根式施行的,:令,则解法一直接积分;解法二用弦换..(参阅例11)⑵正切代换:正切代换简称为“切换”.是针对型如的根式施行的,:,常用所谓辅助三角形法..,并用辅助三角形,有