曲线积分和曲面积分的计算.doc

武夷学院数学与计算机系《数学分析(1,2,3)》教案:..第21章曲线积分和曲面积分的计算教学目的:教学重点和难点:§1第一类曲线积分的计算设函数在光滑曲线上有定义且连续,的方程为则。特别地,如果曲线为一条光滑的平面曲线,它的方程为,,那么有。例:设是半圆周,。求。例:设0是曲线上从点到点的一段,计算第一类曲线积分。例:计算积分,其中是球面1<0被平面截得的圆周。例:求,此处为连接三点,,的直线段。§2第一类曲面积分的计算一曲面的面积(1)设有一曲面块0,它的方程为。具有对和的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在平面上的投影为可求面积的。则该曲面块的面积为。(2)若曲面的方程为,令,,,则该曲面块的面积为。例:求球面含在柱面内部的面积。例:求球面<0含在柱面内部的面积。二化第一类曲面积分为二重积分(1)设函数为定义在曲面上的连续函数。曲面的方程为。具有对和的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在平面上的投影为可求面积的。则。(2)设函数为定义在曲面上的连续函数。若曲面的方程为令,,,则。例:计算,是球面,。例:计算,其中为螺旋面的一部分:。注:第一类曲面积分通过一个二重积分来定义,这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。例:I=,是球面,球心在原点,半径为。§。先用微元法,再用定义积分的方法讨论这一问题,得。,且设是定义在上的有界函数,将沿确定方向从起点开始用分点分成个有向弧段,直至终点。且设。在每一弧段上任取一点,作和式:。其中为起点,为终点。设,这里表示有向线段的长度。若当时,和有极限,且它与的分法无关,也与点的选择无关,则称为沿曲线IPIF1<0按所述方向的第二类曲线积分,记作或。注:如果向量,则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为。注:第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质,也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。注:在平面情况下,若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时,如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方,则这个方向就算作正向,否则就算作负向。这时只要方向不变,曲线积分的值是与起点的位置无关的。二第二类曲线积分的计算设曲线自身不相交,其参数方程为:。且设是光滑的。设当参数从调地增加到时,曲线从点按一定方向连续地变到点。设函数定义在曲线上,且设它在上连续。则。(*)注:(*)积分下限必须对应积分所沿曲线的起点,上限必须对应终点。注:如果向量,则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为例:计算积分,L的两个端点为A(1,1),B(2,3).积分从点A到点B或闭合,路径为(1)直线段AB;(2)抛物线IPIF1<0;(3)折线闭合路径A(1,1)D(2,1)B(2,3)A(1,1)。.例:计算积分,这里L:(1)沿抛物线从点O(0,0)到点B(1,2);(2)沿直线PIF1<0从点O(0,0)到点B(1,2);(3)沿折线封闭路径O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).例:计算第二型曲线积分I=,其中L是螺旋线,,从KIPIF1<0到的一段。三两类曲线积