2005年研究生入学考试数学三模拟试题参考答案.doc

2005年研究生入学考试数学三模拟试题参考答案填空题(本题共6小题,每小题4分,)(1)设函数f(x)满足,f(0)==______________.[解]应填–,于是===(2)设连续,若在点(0,0)处关于x,y的偏导数均存在,则应满足_______________.[解]应填由题设在x=0处关于x的导数存在,得(3)已知,且f(1)=1,则f(x)=_________________.[解]应填-x+,有,即,解此微分方程,得f(x)=cx+2,由f(1)=1,知c=-1,故f(x)=-x+2.(4)二次型的正负惯性指数都是1,则a=.[解]应填-2,由于r(A)=1+1=2若a=1,则r(A)=1,不合题意;若a=-2符合题意,故a=-2.(5)设A,B独立,P(A)=,P(B)=,则=.[解]应填==(6)设和为总体B(m,p)的样本的样本均值和样本方差,若为的无偏估计,则常数k=.[解],,于是,知k=、选择题(本题共8小题,每小题4分,,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设则f(x)(A)极限不存在.(B)极限存在但不连续.(C)连续但不可导.(D)可导.[][解],所以f(x)在x=,故应选(C).(8)设函数f(x)在(-¥,+¥)内连续,.如果f(x)是单调增加的偶函数,则F(x)是 (A)单调增加 的偶函数. (B)单调增加 的奇函数. (C)单调减少 的偶函数. (D)单调减少 的奇函数.[][解]=x-t,F(x)=,所以,为奇函数,为偶函数,即F(x),即F(x),选(C).(9)设a和b为常数,且,则(A)a=0,b=1(B)a=-1,b=1(C)(D)[][解]应选D由于,故应选(D).(10)设f(x)连续可导,,则等于(A)(B)(C)2f(0)(D)2[][解]应选A.=故应选(A).(11)设正项级数的部分和为,又,已知级数收敛,则(A)收敛(B)发散(C)条件收敛(D)收敛[][解],,于是,故应选(B).(12)设A为阶矩阵,考虑以下命题:①Ax=0只有零解;②Ax=b有唯一解;③A的行向量组线性无关;④(A)①②④.(B)②①④.(C)④①③.(D)③②①.[][解]=b有唯一解,知,于是Ax=0只有零解,进而可推知A的列向量组线性无关,故应选(B).(13)设A为n阶矩阵,考虑以下命题:1)A与有相同的特征值与特征向量;2)若A~B,则A,B有相同的特征值与特征向量;3)若A,B有相同的特征值,则A,B一定相似于同一个对角矩阵;4)若A,B有相同的特征值,则r(A)=r(B).成立的命题有(A)1个(B)2个.(C)3个.(D)0个.[][解];A~B,则A,B有相同的特征值但同样特征向量不一定相同;A,B有相同的特征值,但A,B不一定可对角化,从而不一定相似于同一个对角矩阵;A,B有相同的特征值,推不出r(A)=r(B),(D).(14)设(X,Y)为二维随机变量,则X与Y独立的充要条件为(A)独立.(B)独立.(C)独立.(D)独立.[][解],Y独立,则、、、均独立;但反过来,只有独立时,才可推导出X与Y独立,即==故应选(C).三、解答题(本题共9小题,、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分8分)设f(x)=,其中g(x)具有二阶导数,且,,求[解]令u=lnx(16)(本题满分9分)设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2,求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.[解]直接解微分方程,或由f(x)的连续性知f(0)==因此,所求函数为旋转体的体积为,令又,故当a=-5时,旋转体体积最小.(17)(本题满分8分)设f(x)在区间[a,b]上可导,且=,.证明:存在,使[证]令,,则,F(c)=0即结论。(18)(本题满分8分) 函数f(x,y)二阶偏导数连续,满足,且在极坐标系下可表成f(x,y)=h(r),其中,求f(x,y).[解]由题设,有,根据,得,故f(x,y)=(19)(本题满分9分) 设证明当时,幂级数收敛,并求其和函数.[解],所以在(-1,1),可得递推式:,于是,所以(20)(本题满分13分)设为四维列向量组