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陈省身教授的演讲:中国的数学----几件数学新闻和对于中国数学的一些看法l庆祝自然科学基金制设立15周年和国家自然科学基金委员会成立10周年的讲演陈省身(MachematicalSciencesResearchInstitute,1000CentennialDrive,Berkeley,CA94720,USA;南开大学数学研究所,天津300071)张存浩先生要我讲点数学,这么短的时间,而数学这么大,只好举几个要点谈谈。数学是什么?数学是根据某些假设,用逻辑的推理得到结论,因为用这么简单的方法,所以数学是一门坚固的科学,它得到的结论是很有效的。这样的结论自然对学问的各方面都很有应用,不过有一点很奇怪的,就是这种应用的范围非常大。最初你用几个数或画几个图就得到的一些结论,而由此引起的发展却常常令人难以想象。在这个发展过程中,我认为不仅在数学上最重要,而且在人类文化史上也非常突出的就是Euclid在《几何原本》。这是第一本系统性的书,主要的目的是研究空间的性质。这些性质都可以从很简单的公理用逻辑的推理得到。这是一本关于整个数学的书,不仅仅限于几何学。例如,Euclid书上首先证明素数的个数是无穷的,这便是一个算术的结论。随着推理的复杂化,便有许多"深刻"的定理,需要很长的证明。例如,有些解析数论定理的证明,便需几十条引理。最初,用简单的方法证明几个结果,大家很欣赏,也很重要。后来方法发展了,便产生很复杂的推理,有些定理需要几十页才能证明。现在有的结果的证明甚至上百页,上千页。看到这么复杂的证明,我们固然惊叹某些数学家高超的技巧和深厚的功力,但心中难免产生一些疑问,甚或有些无所适从的感觉。所以我想,日后数学的重要进展,在于引进观念,使问题简化。先讲讲有限单群的问题。,数学的发展中有一个基本观念——群。群也是数学之中各方面的最基本的观念。怎样研究群的结构呢?最简单的方法是讨论它的子群,再由小的群的结构慢慢构造大一些的群。群中最重要的一种群是有限群,而有限群是一个难极了的题目,需要有特别的方法,特别的观念去研究。命G为群,g∈G为一子群,如对任何g∈G-1gHg∈H则称H为正规的(nomal)。正规子群存在,可使G的研究变为子群H及商群G/H的研究。这样就有一个很自然的问题,有哪些有限的单群(simplegroup)。单群除了它自己和单位元(identity)之外,没有其他的非平凡的正规子群(normalsubgroup)。数学上称其为简单群,其实一点也不简单。有限群论的一个深刻的定理是Fei-Thompson定理:非交换单群的阶(数)(即群中元素的个数)是偶数。更不寻常的是除了某些大类(素数阶循环群Zp,交错群An(n>=5),Lie型单群)外,后来发现了26个零零碎碎的有限单群(散在单群,离散单群),现在知道,最大的散在单群的阶是412096235423571113171923293141475971=808,017……=10这是很大的单群,,数学家称它为魔群(怪物,Monster)。,这当然是数学上一个很好的结果。把单群都确定了,就像化学家把元素都确定了,物理学家把核子的结构都确定了一样。可这里有个缺点,Gorenstein并未将证明定出来。他讲若将证明写