偏微分方程数值解实验报告.docx

偏微分方程数值解实验报告微分方程数值解法实验报告姓名:班级:学号: 一:问题描述求解边值问题: ??u?2?e?(x?y)(sin?xcos?y?cos?xsin?y???。求解差分方程,以前后两次重合到小数点后四位的迭代值作为解的近似值,比较三种解法的迭代次数以及差分解uh(x,y)(h?1/64,1/128)与精确解的精度。问题二:取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式,用单参数和双参数PR法解差分方程,近似到小数点后四位。与SOR法比较精度和迭代步数。问题三:取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式,用共轭梯度法和预处理共轭梯度法解差分方程,近似到小数点后四位。与SOR法与PR法比较精度和迭代步数。: 分别使用五点差分法, PR交替隐式差分法,共轭梯度法,预共轭梯度法分别求椭圆方程的数值解。: (1)Jacobi迭代法设线性方程组 Ax?b(1) 的系数矩阵A可逆且主对角元素a11,a22,...,ann均不为零,令 D?diag?a11,a22,...,ann并将A分解成 A??A?D??D(2) ? 从而(1)可写成Dx??D?A?x?b令 x?B1x?f1 ?1?1 B?I?DA,f?Db.(3)1其中1 以B1为迭代矩阵的迭代法(公式) x?k?1??B1x?k??f1(4) 称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为 n1(k?1) ?bi??aijx(jk)?xi? j?1aii?j?i ? i?1,2,...n,k?0,1,2,...(5)? ?0??0?T ??0???x1?0?,x2,...xn 其中(2)Guass-Seidel迭代法由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用x的?k?1??k?1?x全部分量来计算x的所有分量,显然在计算第i个分量i时,已经计算出的最新分量x1 ?k?1? ?k? 没有被利用,从直观上看,,对这些最新计算出来的第?k?1? ?k?1?xk?1次近似x的分量j加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德迭代法. 把矩阵A分解成 A?D?L?U(6) 其中D?diag?a11,a22,...,ann?,?L,?U分别为A的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成?D?L?x?Ux?b即 x?B2x?f2 其中?1?1 B2??D?L?U,f2??D?L?b(7)以B2为迭代矩阵构成的迭代法(公式) x?k?1??B2x?k??f2(8) ,...,xi?1 ?k?1? 称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用量表示的形式为 i?1n1(k?1)(k?1) xi??bi??aijxj??aijx(jk)?j?1j?i?1?aii? i?1,2,?n,k?0,1,2,...?(3)SOR迭代 T?(D??L)?1(?R?(1??)D)d??(D??L)?1b ?opt?2/(1???2)u?cos?h (4)交替方向迭代法 ui?1,j?2ui,j?ui?1,j?L1ui,j?1?2ui,j?ui,j?1?L2L?L1?L2 迭代格式为: (I??kL1)u k?1 2 ?(I??kL2)uk??kb?(I??kL1)u k?12 (I??kL2)u