傅里叶变换-课件·PPT.ppt

第4章图像变换
傅里叶变换
离散余弦变换
K-L变换
小波变换
2017/7/13
第4章图像变换
为了有效和快速地对图像进行处理和分析,常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他空间,并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理,然后通过逆变换操作转换到图像空间。
本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交变换,如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。
2017/7/13

设f(x)为x的函数,如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件:
(1)具有有限个间断点;
(2)具有有限个极值点;
(3)绝对可积。
则定义f(x)的傅里叶变换为:
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连续傅里叶变换
从F(u)恢复f(x)称为傅里叶反变换,定义为:
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上述二式形成傅里叶变换对,记做:
函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复数,它可以由下式表示: F(u)=R(u)+jI(u)
R(u),I(u)分别为F(u)的实部和虚部。
写成指数形式:
连续傅里叶变换
F(u)为复平面上的向量,它有幅度和相角:
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幅度:
相角:
幅度函数|F(u)|称为f(x)的傅里叶谱或频率谱,φ(u)称为相位谱。
称为f(x)的能量谱或称为功率谱。
连续傅里叶变换

傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数f(x,y)若f(x,y)满足狄里赫莱条件,则存在如下傅里叶变化对:
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二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为:
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对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采了N个点,则这个离散序列可表示为{f(0),f(1),…,f(N-1)}。借助这种表达,并令x为离散空域变量,u为离散频率变量,可将离散傅里叶变换定义为:
离散傅里叶变换
傅里叶反变换定义由表示:
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可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。
其傅里叶谱、相位和能量谱如下:
离散傅里叶变换
(DFT)的矩阵表示法
由DFT的定义,N=4的原信号序列f(x)={f(0),f(1),f(2),f(3)}的傅里叶变换F(u)展开为:
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离散傅里叶变换
将e指数项化简可写成矩阵形式:
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记作:
可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示。当N=4时,(a)。
把单位圆分为N=4份,则正变换矩阵第u行每次移动u份得到该行系数。
离散傅里叶变换