对一类规律探究型中考题的探究.doc

对一类规律探究型中考题的探究
湖北省黄石市下陆中学宋毓彬

 
探索规律是数学发现过程中的一种创造性思维,也是探索发现新知识的一种重要手段。新课程标准试行以来,一类规律探究型试题成为中考命题热点。这类中考试题主要是要求学生通过观察、归纳、发现的方法,从具体、特殊的数学事实中探究出其存在的规律,把潜在一些数学问题表象中的本质挖掘出来,既考察学生接受新知识的能力,又考察学生观察、归纳、猜想能力,对学生的数学能力有着非常高的要求。这类试题大都作为“小压轴题”出现在选择、填空题的最后一题,带有较强的选拔性。
 
规律探究型中考题很多问题实质上是高中数学中的数列问题。就目前常见的试题形式按内容分类主要有:①数值出现规律的探究;②数式的结构规律探究;③特殊几何图形的出现规律探究;④点的坐标变化规律的探究等。解决这类问题对应的基本策略一般有列举归纳法、观察归纳法和数形结合分析法。
 

 
:列举归纳法
 
中考数学试题中的数值出现规律探究问题,通常可采用列举法进行求解。所谓列举法,就是按照一定顺序列举一定数量的运算过程和结果,从运算过程中或是从运算结果中归纳出运算过程或运算结果的规律。
 
运用列举法求解这类问题时,有时只需列举三、五个数式就可以看出其中的规律。但如果遇到比较复杂的问题时,也许仅列举三、五个数式无法看出其中的规律,这时就需要继续向后列举,直到能看出规律为止。一般而言,列举的数式最多可能在10~12个左右。
 
对于规律探索型的问题,很多时候就因为列举的数值不够,从而无法找出规律。因此在遇到规律探究型问题时应切记“进一步,将海阔天空。”
 
例1.(2010南宁)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21……叫做三角形数,,第二个三角形数记为,……,第个三角形数记为,计算……,由此推算,____________,__________.
 
分析:解决本题关键是要分别计算出……,观察发现规律,进而推导a-a与n的一般关系式。
 
观察a1、a2、a3、a4、a5、a6的值,可发现
 
由a2-a1=3-1=2;a3-a2=6-3=3;a4-a3=10-6=4;a5-a4=15-10=5……
 
可推算a100—a99=100
 
由a2-a1+a3-a2+a4-a3+……+ a100—a99=
 
∴a100-a1=5049,a100=5049+1=5050
 
点评:列举相邻三角数的差值,可发现an-an-1=n,叠加所有的差可得到a100-a1的一个关系式。这道试题的本质上是一道高中阶段的数列问题。
 
例2.(2009年杭州)某校数学课外小组,在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树终止在点Pk(xk,yk)处,其中xi=1,yi=1,当k≥2时,
 
,[a]表示非负实数a的整数部分,例如[]=2,[]=0。按此方案,第2009棵树种植点的坐标为(    )。
 
A.(5,2009)  B.(6,2010) C.(3,401)  D.(4,402)
 
分析:解决本题应先求出一部分Pk的值,然后从这些值中找出数值的出现规律。
 
当k=1时,P1(1,1)
 
当2≤k≤5时,P2、P3、P4、P5的坐标分别为(2,1),(3,1),(4,1),(5,1);
 
当k=6时,P6(1,2);
 
当7≤k≤10时,P7、P8、P9、P10的坐标分别为(2,2),(3,2),(4,2),(5,2);
 
当k=11时,P11(1,3)
 
当12≤k≤15时,P12、P13、P14、P15的坐标分别为(2,3),(3,3),(4,3),(5,3);
 
……
 
通过以上数据可以发现:当k=5n+1时,Pk的坐标为(1,n+1),
 
而后面四个点的纵坐标均为n+1,横坐标则分别为2,3,4,5。
 
即(2,n+1),(3,n+1),(4,n+1),(5,n+1)
 
∵2009=(5×401+1)+3,∴P2009的横坐标为4,纵坐标为402。即P2009(4,402)
 
点评:此题在列举部分Pk的坐标时需要有耐心,当列举的三、五个点看不出规律时,继续向后列举,直到能看出规律为止。一些同学之所以没有找出坐标规律,在于仅列举了5到6个点的坐标,如果列举到12个以上的坐标规律就比较明显了。
 
:观察归纳法
 
对于中考试题中数式的结构规律探究问题或是图形的计数问题,往往需要充分观察数式或是几何图形的结构,并从特殊的结构中寻找并归纳出存在的