初中数学竞赛辅导资料2.doc

初中数学竞赛辅导资料(2)倍数约数甲内容提要1两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。2因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。如0是7的倍数,7是0的约数。3整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都是A的倍数,例如5的倍数有±5,±10,……。4整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1,±2,±3,±6。5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。7在有余数的除法中, 被除数=除数×商数+余数若用字母表示可记作: A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除例如23=3×7+2 则23-2能被3整除。乙例题例1写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以应用:2,22,23,24,3,32,33,34,2×3,22×3,22×32 。解:列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21,2231,322×31,2,3,64221,2,43321,3,32322×31,2,3,4,6,126231,2,4,84331,3,32,33422×321,2,3,4,6,9,12,18,369241,2,4,8,165341,3,32,33,345其规律是:设A=ambn (a,b是质数,m,n是正整数) 那么合数A的正约数的个是(m+1)(n+1)例如求360的正约数的个数解:分解质因数:360=23×32×5, 360的正约数的个数是(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)例2用分解质因数的方法求24,90最大公约数和最小公倍数解:∵24=23×3,90=2×32×5∴最大公约数是2×3,记作(24,90)=6 最小公倍数是23×32×5=360,记作[24,90]=360例3己知32,44除以正整数N有相同的余数2,求N解:∵32-2,44-2都能被N整除,∴N是30,42的公约数∵(30,42)=6,而6的正约数有1,2,3,6经检验1和2不合题意,∴N=6,3例4一个数被10余9,被9除余8,被8除余7,求适合条件的最小正整数分析:依题意如果所求的数加上1,则能同时被10,9,8整除,所以所求的数是10,9,8的最小公倍数减去1。解: ∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是359丙练****212的正约数有_________,16的所有约数是_________________分解质因数300=_________,300的正约数的个数是_________用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。一