人教版高一数学必修一基本初等函数解析.doc

基本初等函数一.【要点精讲】(1)根式的概念:①定义:若一个数的次方等于,则这个数称的次方根。即若,则称的次方根,1)当为奇数时,次方根记作;2)当为偶数时,负数没有次方根,而正数有两个次方根且互为相反数,记作②性质:1);2)当为奇数时,;3)当为偶数时,。(2).幂的有关概念①规定:1)N*;2);n个3)Q,4)、N*且②性质:1)、Q);2)、Q);3)Q)。(注)上述性质对r、R均适用。(3).对数的概念①定义:如果的b次幂等于N,就是,那么数称以为底N的对数,记作其中称对数的底,N称真数1)以10为底的对数称常用对数,记作;2)以无理数为底的对数称自然对数,,记作;②基本性质:1)真数N为正数(负数和零无对数);2);3);4)对数恒等式:。③运算性质:如果则1);2);3)R)④换底公式:1);2)。(1)指数函数:①定义:函数称指数函数,1)函数的定义域为R;2)函数的值域为;3)当时函数为减函数,当时函数为增函数。②函数图像:1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限;2)指数函数都以轴为渐近线(当时,图象向左无限接近轴,当时,图象向右无限接近轴);3)对于相同的,函数的图象关于轴对称①,②,③①,②,③,③函数值的变化特征:(2)对数函数:①定义:函数称对数函数,1)函数的定义域为;2)函数的值域为R;3)当时函数为减函数,当时函数为增函数;4)对数函数与指数函数互为反函数②函数图像:1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限;2)对数函数都以轴为渐近线(当时,图象向上无限接近轴;当时,图象向下无限接近轴);4)对于相同的,函数的图象关于轴对称。③函数值的变化特征:①,②,③.①,②,③.(3)幂函数1)掌握5个幂函数的图像特点2)a>0时,幂函数在第一象限内恒为增函数,a<0时在第一象限恒为减函数3)过定点(1,1)当幂函数为偶函数过(-1,1),当幂函数为奇函数时过(-1,-1)当a>0时过(0,0)4)幂函数一定不经过第四象限四.【典例解析】题型1:指数运算例1.(1)计算:;(2)化简:。解:(1)原式=;(2)原式=。点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序。例2.(1)已知,求的值解:∵,∴,∴,∴,∴,∴,又∵,∴。点评:本题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算。题型2:对数运算(2).(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点,则满足=(1);(2);(3)解:(1)原式;(2)原式;(3)分子=;分母=;原式=。点评:这是一组很基本的对数运算的练****题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是学****数学的基本功,通过这样的运算练****熟练掌握运算公式、法则,、、为正数,且满足(1)求证:;(2)若,,求、、的值。证明:(1)左边;解:(2)由得,∴……………①由得………………………②由①②得……………………………………③由①得,代入得,∵,∴………………………………④由③、④解得,,从而。点评:对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则为主,将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3:指数、对数方程例5.(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意的,不等式恒成立,(1)因为是R上的奇函数,所以从而有又由,解得(2)解法一:由(1)知由上式易知在R上为减函数,又因是奇函数,从而不等式等价于因是R上的减函数,由上式推得即对一切从而解法二:由(1)知又由题设条件得即整理得,因底数2>1,故上式对一切均成立,从而判别式例6.(2008广东理7)设,若函数,有大于零的极值点,则(B)A. B. C. D.【解析】,若函数在上有大于零的极值点,即有正根。当有成立时,显然有,此时,:上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式,解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式,再来求解。题型4:() :C;,。点评:利用指数函数、对数函数的概念,(x)的单调区间。解:令,则x=,t∈R。所以即,(x∈R)。因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,故只需讨论f(x)在[0,+∞)上的单调性。任取,,且使,则(1)当a>1