矩阵可逆的判别方法.docx

矩阵可逆的若干判别方法学院:数学与数量经济学院班级:数学与应用数学1班姓名:黄新菊学号:25内容摘要:学了这么久高等代数,从学了矩阵之后,几乎每节都离不开矩阵。矩阵是一个主要研究对象和重要工具,其中在这期间,可逆矩阵是贯穿其中出现的最频繁的词语。可逆矩阵是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。例如,分块矩阵的运算、二次型化为标准型再化为规范型、线性子空间、同构、矩阵线性变换、特征值与特征向量、对角矩阵等,都有用到可逆矩阵,矩阵可逆的性质,可以解决很多数学问题,是解决实际问题比较常用的工具之一。并且还可以物理、经济等各种问题。有重要的理论和实践意义。所以,研究、学****矩阵可逆的若干判别方法,还是很有必要的,有重要的意义。关键词:矩阵、可逆矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、初等变换、线性变换、线性子空间、判别方法。导言:高等代数已经学了差不多两个学期。自从开始学了矩阵,矩阵在高等代数中就起到了不可或缺的作用。前面学的多项式、行列式、线性方程组原来也是为了学****矩阵奠定了基础。而矩阵的可逆性在其中起到了非常大的作用。突然发现,在矩阵的乘法运算中,可逆矩阵就像有理数的倒数一样,可逆矩阵是构成矩阵运算体系中非常重要的部分。为了更加深入了解、学****解决处理矩阵计算体系的各种题目,我决定用“矩阵可逆的若干判别方法”为题目作为论文的题目。我在图书馆查了很长时间的资料,并且还上网百度浏览了很多有关的网页。希望可以由此更加深入理解矩阵的逆的性质、定义、判别方法等。整理了所有资料,总结了以下的矩阵的逆的判别方法。正文矩阵可逆的若干判别方法首先介绍一些下面要用性质及定义。有关矩阵的逆的定义:定义1:级方阵称为可逆的,如果有n级方阵B,使得AB=BA=E,,B为A的逆。()定义2:设矩阵中元素的代数余子式,矩阵称为的伴随矩阵。定义3:矩阵是可逆的充分必要条件是非退化,而。定义4:数域P上的n×n矩阵称为非退化的,如果;否则称为退化的。定义5:矩阵的三种初等行(列)变换:互换某两行(列)的位置;用非零的数乘某一行(列);把某一行(列)的倍数加到另一行(列)。……有关矩阵的逆的性质:性质1:;性质2:;性质3:;性质4:;性质5:……矩阵可逆的若干判别方法定义判别法设对于阶方阵A,如果存在n阶方阵B满足条件AB=E且BA=E,就称A可逆,并且称B为A的逆,记B=。这种方法可以直接找到矩阵的逆,进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵是可逆的。此种方法大多适用于简单矩阵和一些非具体矩阵的判断。eg:A=1101,求A-:取矩阵1-101,由于11011-101=1001,1-1011101=1001。即A-1=1-101矩阵行列式判别法矩阵A可逆的充分必要条件是A是方阵且A≠0(非退化)。eg:A=2231-10-121,判断A是否可逆。解:由于A=2231-10-121=-1≠。秩判别法n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A的秩为n.(r(A)=n).eg:设矩阵A=,判断矩阵可逆。解:由知,矩阵A为3阶矩阵,=可逆。伴随矩阵判别法矩阵是可逆的充分必要条件是非退化,而。证明:当,由可知,A可逆,且。反过来,如果A可逆,那么有使,两边取行列式,。即是求可逆矩阵的公式