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三谈由悖论看概念可操作性——浅析康托尔对角线法及哥德尔不完全定理隐性假设.doc


文档分类:法律/法学 | 页数:约10页 举报非法文档有奖
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三谈由悖论看概念的可操作性——浅析康托尔对角线法及哥德尔不完全定理的隐性假设-社会科学论文三谈由悖论看概念的可操作性——浅析康托尔对角线法及哥德尔不完全定理的隐性假设 黄汝广摘要:我们重点考察康托尔对角线法无效的根本原因,并对“理查德悖论”及哥德尔不完全定理进行尝试性分析。结果表明,由于概念缺乏操作性而无意引入的隐性假设,常会导致反证法论证的无效,这也正是悖论产生的一个主要根源。关键词 :康托尔对角线;理查德悖论;不完全定理;反证法;可操作性笔者曾撰文,通过悖论来探讨概念的可操作性,认为悖论的根源是其概念缺乏可操作性。这里,我们主要考察康托尔对角线反证法,有些文献也称为对角线法、逆对角线法或反对角线法。据张建军《逻辑悖论研究引论》介绍,该方法在悖论研究领域有重要应用,如“哥德尔对角线定理”、汤姆逊“对角线引理”、蒋星耀“悖论统一模式定理”等。但很可惜,康托尔关于实数集不可数的对角线反证法是无效的,文献[2][3]都曾对此作过一定论述,并正确指出了其漏项问题。下面我们先对该方法作一简单介绍与分析,并给出一个实数集可数的构造性证明,再重点考察其无效的根本原因,最后对“理查德悖论”及哥德尔不完全定理,进行尝试性的探讨。事实上,这些问题也一直是争议不断,更早如维特根斯坦,就既不承认康托尔的证明,也不承认哥德尔的不完全定理。一、康托尔对角线反证法康托尔的论证大致如下:假设(0,1)可数,使之与自然数集建立一一对应关系,可得一无穷序列——1→…a1n…2→…a2n………n→…ann………然后构造数b=…bn…,其中bn这样取值:当ann等于1时bn等于2,当ann不等于1时,bn等于1。康托尔认为,数b属于(0,1)却又不是上面序列中的任何一个,因此(0,1)不可数。既然实数子集(0,1)不可数,实数集也必然不可数。但问题是,假如康托尔方法有效,有理数集也将不可数:假设(0,1)内的有理数可数,将其与自然数集建立一一对应关系,可得一形式完全同上的无穷序列,只是其中的每一个都是有理数而已。但是,我们另外还要求a11=…=ann=…=1:通过位置调整这是可以做到的,且不会造成序列的增减,因此不影响序列的可数性。仍依据前面的取值规则,可得数b=…;显然,按康托尔的逻辑,b=…属于(0,1)内的有理数却又不是上面序列中的任何一个!因此,(0,1)内的有理数不可数,进而整个有理数集不可数!如此一来,康托尔对角线法的荒谬性就凸显出来了,因为在康托尔理论中,有理数集可数,是千真万确的[5]:有理数集的另一等价定义是全体分数的集合,也即为整数,q为正整数,且p与q无公因子};全体有理数可按∣p∣+q的顺序由小到大排列,∣p∣+q相同的再按p的顺序排列,这样就有:每个有理数必在此序列中。故有理数集可数。可是这个论证并不严谨,在上述定义下,完整的论证要点应该如下:首先,∣p∣+q相同而按p排序的任何一个序列,都是有理数集的子集,且一定可数;其次,∣p∣+q不相同,则序列不同,子集不同,有理数集是所有子集的并集;再次,虽然子集有无穷多,但却是可数个;最后,按康托尔的理论,可数个可数集的并集仍为可数集。故有理数集可数。二、实数集可数的构造性证明不过,否定康托尔对角

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  • 上传人一花一世
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  • 时间2019-02-23