空间向量知识点总结.docx

空间向量知识点总结空间向量知识点归纳总结知识要点: :在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注:空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。。定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下。 OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R) 运算律:⑴加法交换律:a?b?b?a ? ?? ? ??????⑵加法结合律:(a?b)?c?a?(b?c) ⑶数乘分配律:?(a?b)??a??。如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线? ? ? ? ???? 向量或平行向量,a平行于b,记作a//b。?????? 当我们说向量a、b共线时,表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线。???????? 共线向量定理:空间任意两个向量a、b,a//b存在实数λ,使a=λb。 :一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明:空间任意的两向量都是共面的。共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,p与向量a,b共面的条件是存在实数 x,y使p?xa?yb。 :如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p?xa?yb?zc。若三向量a,b,c不共面,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数 x,y,z,使OP?xOA?yOB?zOC。 :空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O?xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 OA?xi?yi?zk,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O?xyz中的坐标, 记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标。若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用{i,j,k}表示。空间向量的直角坐标运算律: ①若a?(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3),则a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3), a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3),?a?(?a1,?a2,?a3)(??R),a?b?a1b1?a2b2?a3b3, a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R),a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0。②若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。模长公式:若a?(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3), 则| a|? ? ,|b|?? 夹角公式:cosa?b? a?b ?。|a|? |b|两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则|AB|?或dA,B? ?, 。空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量a,b,在空间任取一点O,作 OB叫做向量a与b的夹角,则?A记作?a,b?;且规定0??a,b???,OA?a,OB?b, 显然有?a,b???b,a?;若?a,b?? ? 2 ,则称a与b互相垂直,记作:a?b。|a|。向量的模:设OA?a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模,记作: 向量的数量积:已知向量a,b,则|a|?|b|?cos?a,b?叫做a,b的数量积,记作a?b,即a?b?|a|?|b|?cos?a,b?。空间向量数量积的性质: ①a?e?|a|cos?a,e?。②a?b?a?b?0。③|a|2?a?a。空间向量数量积运算律: ①(?a)?b??(a?b)?a?(?b)。②a?b?b?a。③a?(b?c)?a?b?a?c。【典型例题】-A?B?C?D?,化简下列向量表达式,标出化简结果的向量。⑴AB?BC;⑵AB?AD?AA?;⑶AB?AD? ?;⑷(AB?AD?AA?)。23 变式练****1、已知空间四边形ABCD,连结AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量:AB?BC?CD;AB? ,在空间四边形OABC中,OA?8,AB?6,AC?4,BC?5, 11 (BD?BC);AG?(AB?AC)。22 ?OAC?45,?OAB?60,求OA与BC的夹角的余弦值。变式练****2、已知平行六面体ABCD?A?B?C?D?中,AB?4,AD?3,AA??5,?BAD?90, ?BAA???DAA??60,求AC?的